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où FA RE dy LT dy” dP dE , 9 m 4Q .Œ dy R=--7r jm = pe em dx dx ‘dx dy ° dy LR 0 À ; AAC dy AdQ Nid dre

dy ‘dy. dy dx dr dr

: et désignant partout les dérivées totales par rapport à «& et y.

10. Nous avons vu (p. 7) qu'un groupe continu admet toujours des invariants lorsque le nombre (») des variables dépasse le nombre (r) des para-

1) Cf. Sopaus Lux, Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen, herausgegeben von G&. ScHerrers (Teubner 1891), p. 358.

24 E. LINDELOF.

mètres. Il en résulte qu'à partir d'un certain ordre r,, les groupes prolongés d'une même suite possèdent tous des invariants. On les appelle invariants différentiels par rapport au groupe primitif. Le nombre des invariants distincts d'un groupe étant d’ailleurs, d'après le n°2, au moins égal à la différence »-r. laquelle va toujours en croissant avec l'ordre du groupe prolongé, on en conclut qu'à toute division des variables d'un groupe en deux classes correspond une suite illimitée d'invariants différentiels.

Lorsqu'il s'agit d'établir les invariants différentiels d’un groupe continu on pourra se servir de l’une ou l'autre des méthodes exposées dans le premier chapitre pour le calcul des invariants d’un groupe intransitif. Supposons d’abord qu'il s'agit d'un groupe dont on connait les équations finies, soit le groupe (2), et proposons nous de calculer les invariants différentiels de celui-ci (relatifs à la division admise des variables) jusqu'à l'ordre » inclusivement, par la méthode d'élimination du n° 2. A cet effet on commence par établir les équations (11) du groupe prolongé d'ordre », ce qui n'exige que la résolution d’un système d'équations linéaires: puis on élimine entre ces équations (11) les paramètres &,...a, après avoir égalé certaines variables à des constantes arbitraires, comme il à été expliqué dans le numéro cité. La méthode se réduit, en résumé, à cette règle pratique, formulée par M. Tresse ‘):

Pour trouver les invariants différentiels du groupe (2) on établit d’abord les développements (6); puis on dispose des arbitraires de la transformation (2) de façon que, parmi les x;°, 2,° et les coefficients 2°... un certain nombre ait des valeurs fixes arbitraires. La transformation étant ainsi déterminée, les expressions des autres coefficients de (6) en fonction des x", 4° et des coefficients de (3) sont les invariants différentiels du groupe.

11 importe d'observer qu'il n'est pas nécessaire de pousser le calcul jusqu à obtenir les expressions explicites des coefficients de (6). On peut tout aussi bien opérer directement sur les équations linéaires mêmes dont dépend la détermination de ces coefficients. Nous n'insisterons pas davantage sur cette question pratique, qui sera mieux expliquée par un exemple particulier traité dans le dernier chapitre.

Supposons maintenant que le groupe dont il s'agit, soit défini par ses transformations infinitésimales X,f...X,.f. Le groupe prolongé d'ordre », relatif à une certaine division des variables, sera engendré par r transformations infinitésimales X,(f... X®), obtenues en prolongeant » fois les Xf, et on aura par suite, d'après le n° 3, les invariants différentiels du groupe considéré

?) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Séance du 30 mai 1892.

(relatifs à la division admise des variables) jusqu'à l'ordre » inclusivement, en intégrant le système linéaire X,()f = 0, RATER

lequel, en vertu des relations de la forme (voir p. 23)

XXI) XP) (X)f) = D Ci XV)f:

s=1 que les X()/ doivent vérifier, se réduit à un système complet. Donc:

Étant données les transformations infinitésimales d'un groupe continu, le calcul des invariants difjérentiels du groupe revient à l'intégration de certains systèmes complets.

Outre les invariants des groupes prolongés il peut encore exister des multiplicités invariantes par rapport à ces groupes. Le système d'équations qui définit une telle multiplicité constitue un système invariant d'équations différentelles par rapport au groupe primitif. Nous avons déjà rendu compte dans le n° 6 de la formation de ces systèmes.

11. Si l'on connaît un nombre suffisant d'invariants différentiels d'un groupe, on pourra en déduire une infinité d'autres par différentiation. Considérons. pour fixer les idées, un groupe & à deux variables x et y, y étant regardée comme fonction de +, et soit Z un invariant différentiel d'ordre » de ce groupe. Pour abréger le langage nous appellerons, d'une manière générale, élément E, tout système de valeurs des coordonnées x, y et des dérivées y’, y”,..., y° jusqu'à l'ordre à inclusivement. D'après cette définition on peut dire que toute courbe détermine une suite simplement infinie d'éléments #;.

Cela posé, en désignant par C une constante quelconque, l'équation différentielle (15) Lt 0 définit un ensemble (M) d'éléments Z, qui restera invariant pour les transformations du groupe prolongé d'ordre » de G. Il s'ensuit qu'en effectuant une transformation quelconque de &, toute courbe intégrale 7, de (15) se change en une courbe 7, dont tous les éléments ZÆ, seront compris dans l’ensemble M et qui sera, par suite, aussi une courbe intégrale de l'équation (15), en sorte qu'on peut dire que le groupe G laisse invariant l’ensemble des courbes intégrales de cette équation. Il en sera évidemment de même de l’ensemble des courbes intégrales qui correspondent à différentes valeurs de la constante C. Ce dernier ensemble étant défini par l'équation différentielle d'ordre »+1

26 E. LINDELÔF.

CNE FR a : , a désignant la dérivée totale par rapport à +, on en conclut que cette équaax

tion définit un ensemble d'éléments Z,,, qui reste invariant par rapport au eroupe prolongé d'ordre »+1 du groupe G.

Soient maintenant Z, et Z deux invariants différentiels d'ordre » et « (ur) du groupe G. D'après ce qui précède, l'équation

dl ci

dx dax:

représentera, quelle que soit la constante C, un ensemble d'éléments Z4,, qui restera invariant par rapport aux transformations du groupe prolongé d'ordre u+1 de G. Il en résulte immédiatement, en écrivant l'équation sous la forme

dL dt. di, il dl, dL, { da » : dL, R , . , è que l'expression 27 est un invariant de ce dernier groupe et, par suite, un in-

variant différentiel du groupe &'). Si l'on désigne par o l'ordre le moins élevé pour lequel il existe des invariants différentiels du groupe &, on conclut sans peine de ce qui précède que, connaissant deux tels invariants d'ordre @ et e+1 respectivement, on peut en déduire par difjérentiation tous les autres invariants différentiels du groupe.

Considérons encore un groupe @, à trois variables #, y, 3, parmi lesquelles nous regardons z comme fonction de æ et y, et désignons par Z un invariant différentiel d'ordre » de ce groupe. Par un raisonnement analogue à celui de la page précédente on prouve que le système

dl dl

dœ dy RE.

où . et : désignent les dérivées totales par rapport à æ et y, définit une multiplicité qui reste invariante lorsqu'on effectue une transformation quelconque du groupe prolongé d'ordre »+1 de G,. Dès lors, en désignant par Z, L, Z trois invariants différentiels distincts de G, et par x l'ordre le plus élevé de ces invariants, on peut affirmer que la multiplicité définie par le système

1) Cf, Sopnus Lae, Vorlesungen über Differentialgleichungen etc., p. 375.

QU odb, rendre dr d1, al, dl, LE ai

reste invariante par rapport au groupe prolongé d'ordre #+1 de G;, quelles

que soient les valeurs des constantes €; et C. En écrivant le système sous

la forme

dl dB dl, dl, | | dæ dx dx dx dl; dL dl, dl,

: dy dy ; EST EE K = ÉTEINT CG, K= Mara C; dx dx dr dr Fo Al, dL dy dy dy dy

on en conclut immédiatement que les expressions A, et A, sont des invariants différentiels du groupe G.