X:(Xf) - Xe (Xif) = D Ci XP

dt

et par suite, d’après les relations (13),

> Cixs Xsf = D? Cixs Xsf (1, RTE s—1

ss

Les transformations infinitésimales X,/...X,f étant indépendantes (voir p. 3), d'après l'hypothèse, les relations précédentes doivent se réduire à des identités. On aura donc

Os :Cies Ghs=t rt), et, par suite,

?) Cf. Sopaus Lie, Transformationsgruppen, I, p. 546. 3) Ibid., p. 547.

(14) XP) (XP) = XP) (XF) = D: CRx er:

=] En vue des applications à faire plus tard, nous donnerons ici les formules relatives au prolongement des transformations infinitésimales dans les cas de deux et de trois variables. Considérons d’abord un groupe à deux variables

æ, y, et soit Ki dË

Len une transformation infinitésimale de celui-ci. En considérant 7 comme LEE 4 æ et prolongeant Xf » fois, on trouve ‘)

of of of

XOF= XF + 9 d T Yo dy FAT A dy)? où OUTRE SUN UN 08, 00 a

dm. PUS Un CF Lu dE, ULES y ( BG ZA xt + Gi 7 ay” dy? + 2 - NUE

“ dr: (») dE (te EE # Va 2, (») ) de di T° dx dx 0 AE y dy * Ÿ à dy®—1) ;

of, -0f

Soit en second lieu Xf—=E# ZA 7 hs + C- je une transformation infinitésimale

d’un groupe aux trois variables x, y, 4. Considérons z comme fonction de x et 7 el posons

PL UNE RER EU NERO RE dœ ?? Oÿ + du ? Oxô0y — ” OUT

La transformation infinitésimale deux fois prolongée de Xf devient

DRE 0 DM TS Of.