CHAPITRE IIL

SUR L'INTÉGRATION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES HOMOGÈNES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Dans les chapitres précédents nous avons vu que les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre jouent un rôle important dans la théorie des invariants différentiels. Les systèmes qui se présentent dans cette théorie jouissent de la propriété de se réduire à des systèmes complets. Dans ce chapitre nous montrerons d'abord que l'intégration de tout système linéaire peut être ramenée à l'intégration d’un système complet, puis nous donnerons un exposé de la théorie des systèmes complets, et ensuite, à la fin du chapitre, nous indiquerons une simplification du procédé d'intégration, laquelle nous semble mériter quelque attention ‘).

1) Pour la redaction de ce chapitre nous avons consulté avec profit l'excellent ouvrage de M. E. Goursar: Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, Paris 1891, Voir aussi: Sopnus Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Y, Chap. 5.

28 E. LINDELÔF.

12. Soit proposé un système de & équations linéaires et homogènes à » variables

DE of of Ô (1) X;f — A; (&: Un) dx, + A;2 (x; ut) DH em) JE = 0 (2= I ue),

Nous supposerons, ce qui est évidemment permis, que ces équations soient #7dépendantes, ©. à. 4. qu'il n'existe aucune relation identique de la forme

B; (ui tn) Xi f + Bo (rc 2n) Kof + + Bu (ti +2) Xuf = 0: Il est évident dès lors que le nombre w sera inférieur ou, tout au plus, égal à ». Ni u=n, le système (1) se réduit à

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et il n'existe que l'intégrale banale f = constante. Supposons donc u <n. Nous allons montrer qu'on peut former de nouvelles équations linéaires qui devront être satisfaites par toutes les intégrales du système (1). En effet, en désignant par ® une intégrale quelconque de ce système, on aura

XD = 0: AAMDE= 0:

d'où X:(Xx D) —=0, Xx(X:®D) = 0, et, par suite, X;(Xx D) — Xx (X;: D) = 0.

Or, on trouve, par un calcul facile, que dans l'expression A; (X,f)- X,(X;f) toutes les dérivées du second ordre disparaissent, en sorte qu'on aura

XF) = Xe (XF) = Ÿ (Ai Au Xa Au) D.

s—1 En posant, pour simplifier l'écriture, Xi (XF) Ar (NT) = (Ai 7), on aura donc le résultat que voici:

Toute intégrale du système (1) vérifie en même temps les équations

(2) (LH)=0 CE tieu), qui sont toutes linéaires et du premier ordre.

Entre les équations (2) il peut s’en trouver quelques-unes — nous les désignerons par X/f=0,...,X,,f =0, — qui forment avec les équations (1) un système (3) Xi =; La 07 A0, NE

d'équations indépendantes. Formons alors les nouvelles équations linéaires (Xi AGE) EX 0 (Me re do),

et désignons par X,7=0,..., X4f—0, celles d’entre elles qui constituent avec les équations (3) un système

(4) Xif = 0,-., Xuf = 0; Ne DA Au 0, AA POSTAL 0;

d'équations indépendantes. Celui-ci sera encore vérifié par toutes les intégrales du système (1). En recommençant sur le système (4) les opérations faites sur les systèmes (1) et (3) et en continuant de la sorte, on arrivera évidemment une fois à un système

(5) Vf=0,Yf—=0,...... » Yif = 0,

d'équations indépendantes, admettant les mêmes intégrales que le système proposé (1), et tel, que les parenthèses (Y; Y,) s'expriment sous la forme

q (Yi Yr) = D (aicean). Wif (G;k—=r...g).

e—L D'après la définition citée p. 10, le système (5) est un système complet. Il est donc démontré que fout système de la forme (1) peut être ramené à un système complet admettant les mêmes intégrales que le premier système.

Si le nombre g est égal à n, le système (5), et par suite aussi le système proposé (1), n’admettra que l'intégrale évidente f—constante. Si, au contraire, qg<n, nous verrons plus loin qu'il existe #-gq intégrales distinctes de ces systèmes, Remarquons dès à présent que, si l’on entend, pour chaque valeur de #, par (6) fins fie; DAT Fe slin—1; un système d'intégrales indépendantes de l'équation Y;f—o, toute intégrale de (5) pourra s'exprimer au moyen des fonctions contenues dans l’un quelconque des systèmes (6) et, inversement, toute fonction qui satisfait à cette condition sera une intégrale du système (5).