Soit donné un système complet de y équations

; PR or Re AT pa (7) APE CRE Era TR 2 He 0 ne 4), avec les relations q (8) GX) = Ÿ axe Xef Gk= 1.0).

Nous allons démontrer les deux propositions suivantes : 1° Si l'on fait un changement de variables défini par les équations

(9) pi= far) G=r...n),

30 E. LINDELOF,

résolubles par rapport à ,...x,, le système (7) sera remplacé par un nouveau système complet et toute intégrale du premier système sera transformée en une intégrale du second.

En effet, en désignant par | F] ce que devient une expression quelconque F lorsqu'on y substitue 7,...y, aux variables %,...x, suivant les relations (0), on aura

À; ET Xifol = — +... Xifnl = = Y; = I...

[X fi] 0Y: PL fa] 0Yo Ge Hoi fn] On [f] (o I 4); en vertu des relations (9), ou bien (10) [Xf]= XI] (G=71:.:0).

Par le changement de variables défini par les équations (0), le système (7) se trouve ainsi remplacé par le système

(11) Mif=0, Pf=0,.., Pf—0.

Xif

Les équations (7) étant indépendantes, d’après l'hypothèse, les égalités (10) nous montrent qu'il en sera de même des équations (11). D'autre part, si l'on a Ai DORA D = 0,0" XD = 0,

on aura aussi, en vertu des dites égalités, Y[D]=0, [D] =0o, Pi PRE 1010; c'est-à-dire que toute intégrale du système (7) sera transformée, par le change-

ment de variables (0), en une intégrale du système (11). Remplaçons maintenant dans les égalités (10) f par X,f. Il vient

RP] = Ki] = MID, d'où, en permutant les indices, LR) = [XF] = (If), et, par suite, en retranchant la seconde équation de la première, EX = Xe XP] = LP) = Fe MID.

On en conclut, par l'intermédiaire des formules (8) et (10), que les expressions Y;f... Y,f vérifient les relations