CHAN CARPE
s=1 ce qui prouve que les équations (11) constituent bien un système complet, La proposition 1° est donc démontrée.
20 Etant donné le système complet (7), si l'on choisit les quantités p,, de manière que les g expressions
q (12) ZI= SEX De M) 8—=1 soient linéairement indépendantes, les équations (13) ZAf=0,/2f—0, RG » Zgl — 0;
formeront un système complet admettant les mêmes intégrales que le système (7). La condition que les expressions Zf...7,f soient indépendantes revient,
en effet, à ce qu'on pourra résoudre les équations (12) par rapport à X,f...X, f. On aura donc des relations de la forme
q (14) Xf= D ef G=r...
Des relations (12) et (14) on conclut que toute intégrale d'un des systèmes (7) et (13) satisfera aussi à l’autre. Formons maintenant les (Z:Z%). Il vient d'abord
q A2) D SX LG, = T9),
et par suite, en vertu des relations (14), q (Z: Zx) — ds Zsf (i, KES 4).
gt
Le système (13) est donc aussi un système complet.
14. L'intégration d'un système complet d’après l’une quelconque des méthodes proposées jusqu'ici suppose qu'on ait d’abord transformé le système en un autre d'une certaine forme caractéristique, possédant des propriétés toutes particulières. Nous ferons connaître successivement les diverses formes proposées.
Considérons toujours le système complet (7). Les expressions X,f...X,f étant linéairement indépendantes, d'après l'hypothèse, il sera possible de résoudre les identités
0 0 à XF = Baht Buie G=i0
\ r L Fr A] Ô Ô , 7 .
par rapport à g des dérivées, p. ex. par rapport à ser ; D - Le résultat s écrira, 1 q
en ordonnant convenablement les termes,
32 E. LINDELÔF.
q Ôf of | pe ENG EE Ge ESRI EE 0Xy+1 Un Les expressions Zf...Z,f étant linéairement indépendantes, comme on le voit immédiatement par leur forme, on en conclut, en se reportant à la proposition 2° du numéro précédent, que les équations
of An AT; LE Ci,9+1 dE PAR EU TS LOL ï = 0, 7 d of NO (15) 21 = ÿ" Co,4+1 PEU “æ FE LCA Je =
of of Zif Û 0,5 AE Cyn = 0 al = ET 4a+1 DU + Con 0e, Ù constituent un système complet admettant les mêmes intégrales que le système (7). Nous appellerons, suivant l'exemple de M. Goursar, système jacobien tout système complet de la forme (15).
Le système (15) étant complet, on aura des relations de la forme
AA) - 2 (Gt) = Ÿ Ba Zsf (,k& = 1.4).
Or, on a HU 1e 0 (RER TR AN)
On en conclut, en substituant, dans les relations précédentes, à f successivement les variables æ,...x,,
Pis = 0 (CNRS SEE 07):
et, par suite,
(244) =20 (ARE) Nous exprimerons, avec M. Le, cette propriété des systèmes jacobiens en disant qu'ils sont en involution.
15. Après avoir montré que tout système complet peut être ramené à un système jacobien, nous allons nous occuper de l'intégration d’un tel système (15). Considérons une des équations du système, soit Zf—=0o, et supposons qu'on en ait obtenu une intégrale @, distincte des intégrales évidentes 2...x, En faisant f—@ dans les identités
A(Zf)-Z(Zf) = 0 G=2:..9),
