UE

il vient

ce qui nous montre que les fonctions ZD, Z3D'...... , Zy D sont des intégrales de Z f—0o. De même les fonctions Ou = 7 (Z ®), Duri = Zn Dri,-.... (u,k,i,.. = 2...q) satisferont toutes à l'équation Z,f—0o. Connaissant une intégrale de cette équation on pourra done, en général en déduire une suite d'autres. Cette propriété importante appartient évidemment à tout système en involution. Supposons maintenant que, de l'équation Z, f = 0, on ait obtenu #-g intégrales Ù 1 ; q 5

HU"), far (Ci ut); A ne GE a);

formant avec 4...2, un système de fonctions indépendantes. Toute intégrale de l'équation Zf —0o et, par suite, toute intégrale du système (15) pourra s'exprimer au moyen des quantités

(16) D fait fee

Soit donc, dans les équations (15), f une fonction de ces quantités, Fa ha ls.

La première équation se réduit à une identité et les autres deviennent

of

F7 of # of (17) Zif = + Zi fa+1 cl re Ré À F Gi fn 0f,

dfa+1 Or, les Z;f, étant des intégrales de l'équation Z f=0, d’après ce que nous avons vu plus haut, on pourra les exprimer en fonction des variables (16), et les expressions #;f ne dépendront, par suite, que de ces variables. Dès lors, en désignant par @ une intégrale quelconque du système (15) et par ® la valeur de ® en fonction des variables (16), celles-ci n'étant liées par aucune relation, on aura identiquement

Ai 0 2-0).