D 0, PDO, LAC ORNE SU SE DE
Réciproquement, toute intégrale du système (18) Ef=0,Ff=0, AE » Fil =0,
qui ne dépend que des variables (16), se changera, en vertu des relations
fi=f@e) G=gtrin), en une intégrale du système (15).
Des égalités (17) on déduit, en suivant la même marche qu’à la page (30),
E(Rf)-B(Ff)= Z(Zf)- AZ) (Ghk=z2...).
Or, les seconds membres s’évanouissent identiquement, d’après l'hypothèse, et
54 E. LiNpeLôr.
comme il n'existe aucune relation entre les variables (16), il s'ensuit qu'on aura aussi identiquement
(EF; F3) = 0 (4 == 0m).
Le système (18) est donc un système complet et par suite, d’après sa forme, un système jacobien, d'où la proposition suivante:
Étant donné un système jacobien de q équations à n variables, en intégrant une de ces équations, l'intégration du système se ramène à celle d'un système jacobien de qg-1 équations à n-1 variables.
Appliquons maintenant ce résultat au système (18). Par l'intégration d’une quelconque de ses équations il sera ramené à un système jacobien de g-2 équations à »-2 variables; ce dernier système se réduira, par le même procédé, à un système jacobien composé de g-3 équations à #-3 variables, et ainsi de suite. Finalement on arrivera à un système consistant en une seule équation à #-g+1 variables. Celle-ci contenant nécessairement une des dérivées RE elle ne saurait être identique. Par suite elle admettra #-g intégrales distinctes, lesquelles, exprimées en fonction des variables primitives 4,...+,, nous fourniront les intégrales communes des équations (15). Donc:
Un système jacobien de q équations à n variables possède n-q intégrales distinctes.
Nous avons démontré plus haut que tout système complet peut être ramené à un système jacobien admettant les mêmes intégrales. La proposition précédente peut done être étendue à un système complet quelconque, ce qui nous fournit le théorème fondamental suivant:
Takorèue 1 — Tout système complet composé de q équations à n variables possède n-q intégrales distinctes, dont toute autre intégrale du système sera fonction.
Inversement, on aura le
Taéorème IL — Si q équations linéaires indépendantes à n variables admettent précisément n-q intégrales distinctes, le système formé par ces équations est un système complet.
En effet, si le système n'était pas complet, on aurait, en le complétant, un système complet contenant plus de g équations et qui devrait admettre n-4 intégrales distinctes, ce qui est impossible d’après le théorème I. Il faut donc bien que le système formé par les équations données soit un système complet, €. q. f. d.
16. La recherche des intégrales du système jacobien (15), d’après la méthode que nous venons d'exposer, exige, en résumé, l'intégration successive de g
SYSTÈMES COMPLETS ET INVARIANTS DIFFÉRENTIEIS. 3)
équations linéaires contenant, tout au plus, #-9+1 variables (en ne comptant pas celles des variables qui jouent le rôle de paramètres, p. ex. 2...x, dans la première des équations (15)). La même méthode s'applique sans modification essentielle à tout système complet (19) Xf= An ete + =0 Gr, qui vérifie les relations (Xi A0 ÉNERTE AR
c'est-à-dire à tout système en involution. Considérons, en effet, une des équations (19), soit X,f—0, et supposons qu'on en ait obtenu #-1 intégrales distinctes, /1...f,3; les raisonnements du n° 15 prouvent que le système (19) pourra être remplacé par le système
Xifi SE + Xifa SE + TOR, +X fn = (G=2...0), dont les coefficients s’exprimeront tous au moyen de /,...f, , et qui sera également en involution. Pour obtenir les intégrales du système (19) on aura donc à intégrer successivement g équations linéaires contenant (dans le cas le moins favorable) respectivement #, n-1,...,n-q+1 variables.
Cressen !) à indiqué une méthode élégante pour la réduction d'un système complet de forme quelconque à un système en involution. Considérons le système (19) et posons
CO ER EL FT Xi qu Ref + Kia Be à CZ 29), gp, désignant des fonctions de »,...2,. Tant que ces fonctions satisfont à la condition Xi Pi: Xi, (21) Murs +0, | Xo Pi * : Xa Pa les équations (20) pourront être résolues par rapport à B,f...B,f, et il résulte de la proposition 2° du n° 13 que les équations (22) B;f=0,B;f=0,...... Dao,
formeront un système complet équivalant au système (20). On aura donc des
relations de la forme q
(23) (B:; By) = D} (Brf) — D; (B;f) er ù De Def: (:: k = 1 ...q) L
1) Cregscn, Ueber die simullane Integration linearer partieller Differentialgleichungen. Crelles journal, Bd. 65.
36 E. LINDELÔF.
Or on trouve, en substituant successivement à f, dans les relations (20), les fonctions #,..., et en ayant égard à la condition (21) imposée à celles-ci, (24) BP = BP 0 (G,4 = MER), En faisant les mêmes substitutions dans les égalités (23), il s'ensuit
Œixs = 0 (ES — 1::.0), et, par suite,
(B;:B}) =" HE a0):
Le système (22) est donc en involution. En outre on connaît g-1 intégrales de chacune de ses équations. Les égalités (24) nous montrent, en effet, que l'équation B,f=0o admet pour intégrales les fonctions #, #3, ..,,, l'équation B,f=0 les fonctions #,%3,...,#,, et ainsi de suite.
Si l'on prend, en particulier, pour #,...9,, q variables du système proposé pour lesquelles la condition (21) soit remplie, le système (22) correspondant sera un système jacobien.
Remarque. Si, au lieu de chercher toutes les intégrales d'un système en involution ou d'un système jacobien, on n'en cherche qu'une seule, la méthode précédente se simplifie notablement. Nous n'entrerons point dans cette question, qui n'appartient pas directement à notre sujet et dont on trouve une exposition détaillée dans l'ouvrage déjà cité de M. Goursar !).
