PRÉ EE

18. Nous avons vu que tout système complet peut être ramené à un système en involution et, en particulier, à un système jacobien. Nous ferons connaître une autre forme du système, proposée par Warrer, laquelle, en vue de l'intégration, présente à peu près les mêmes avantages que la forme jacobienne, mais qui s'établit plus facilement que celle-ci ).

Considérons le système (7) et tirons de la première des identités

(27) XP = Ba je + Baye + ss. + Bu SL (= 1:..q)

une des dérivées, soit Si , en fonction de X,f et des autres dérivées. En sub- V1

stituant l'expression obtenue dans les identités suivantes et en ordonnant convenablement les termes, on aura de nouvelles identités de la forme

(28) Xf+@ if = DECES G=2..0).

4, et

Résolvons la première de celles-ci par rapport à une des dérivées, soit

substituons le résultat dans les identités suivantes ; il vient

(29) AP MAT Dr G= 3.0).

?) Cf. A. Mayer, Ueber die Weiler'sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen I. Ordnung, Mathematische Annalen, Bd. IX, p. 347.

38 E. LINDELOF.

Les expressions X,/...X,f étant linéairement indépendantes, on pourra évidemment continuer ce procédé jusqu'à parvenir à un système analogue aux systèmes (28) et (29) et ne contenant qu'une seule équation. En rapprochant alors les premières équations des systèmes (27), (28), (29), etc, on aura un système d'identités qui s'écrira, en changeant convenablement la notation,

ii *: C, Ho nl 2: + Cin ne

Vi+1

Ale iQ = X;f + Qi Xi af +... +0 X,f

G—= 1.9), r,...r, désignant les nombres 1...» pris dans un certain ordre. Les expressions Zf...7,f étant linéairement indépendantes, d'après leur forme, on en conclut, en se reportant à la proposition 2° du n° 13, que les équations

Zif= Cu + Ci rene + Cin dE, = 0,

of. of. DT (30) Zaf = Co dæ,, + Cos du, Ten REA TE + Con dæ, 0, De HAUR of of 231007 0%, + Cohgx, + JÉPRGUCRS 10 7 0, 3 g+1 ñn

formeront un système complet admettant les mêmes intégrales que le système proposé (7). — La forme (30) est précisément celle proposée par W£iLer.

On trouve sans peine que les parenthèses (7; Z,) s'expriment sous la forme d (31) (A2) = Vous Zf G—=1...qg-1;k = i+1...q); s—i il en résulte que les équations Zf = 0, Zipf = 0,1... » Zal = 0, à étant un quelconque des nombres 1...9, constituent séparément un système de Weiler.

Le système (31) se ramène facilement à la forme considérée dans le n° 17. Divisons, en effet, la première équation du système par C:,, la seconde par C», et ainsi de suite. Les équations

74 i,i 0 Jin Ô « Zee de GOT LL so G=r.9

dx }; 0x LEA Es

ainsi obtenues RU un système complet équivalant au système (30), et en cherchant les relations entre les (7; Z) et les Z7f, on trouve qu'elles auront la forme (25). On peut affirmer, dès lors, que si les équations

Zinf=0, Zraf=0,...... » Zaf = 0,

admettent pour intégrale une certaine fonction ®, elles admettront aussi l'intégrale Z;@. On en conclut, en remontant au système (30), que si ® est une intégrale des qg-ù dernières équations

Zinif = 0, Zir2f = 0, » Zal = 0,

. ; . : Zi D rte de ce système, il en sera de même de l'expression Fe Il résulte de cette

propriété qu'on pourra intégrer le système (30) en commençant par la dernière équation et en remontant successivement jusqu à la première. Les équations à intégrer contiendront, tout au plus, #-g+1 variables (en ne comptant pas celles des variables qui jouent le rôle de paramètres). On voit, par suite, que l'intégration d'un système de Weiler et celle du système jacobien équivalent exigent, en général, des opérations de même ordre.

19. Le résultat du numéro précédent s'étend, d’après une remarque faite par M. Zorawski !), à tout système complet

D NT AbER PERTE a FH ER (= 1:09),

ox Lo Un qui vérifie des relations de la forme (31). On peut le démontrer comme suit. D'après les dites relations, les g-i équations Zi+1f = 0, Ziaf = 0, Zaf = 0, à étant un quelconque des nombres 1...g-1, formeront séparément un système complet. Désignons par Di, Da, » Dn-y+i un système d'intégrales indépendantes de ces équations et ajoutons l'équation Z;1=0.. Le ’système Zf= 0, Gif —=0,...... » Zaf = 0, ainsi obtenu, étant encore complet, admettra #-g4+441-1 intégrales distinctes, soient Bi Py,srises ; Pi-g+i, lesquelles s’exprimeront toutes au moyen des intégrales ®,...0,,,; du système précédent et qui se déterminent en fonction de celles-ci en intégrant l'équation

of of of 2 È EU , MALTQUE,, aise , LR — (32) AE FRE Zi M Bt +Z%0, 5 Di ds Or, il résulte des identités 0, 0 où, d du, a MER RE Z op, 0, + 7 D25®, = AL GEr + Zi Dy-g+i Dai 0 (% = I..: n—q+i-1),

1) Acta Mathemalica, t. 16 p. 45.

40 E. LINDELÔF.

que les expressions Z,®,...7:®, ,,; sont proportionnelles à certaines fonctions des quantités ®@,...®,,,;, en sorte que le quotient de deux quelconque d’entre elles s’exprimera au moyen de ces quantités. En divisant l'équation (32) par un de ses coefficients, elle sera donc transformée en une équation qui ne dépend que des variables ®,...@,,,;, d'où l'on conclut qu'on peut intégrer le système considéré dans le même ordre que les systèmes de Weïler, c’est-à-dire en commencant par la dernière équation et en remontant successivement jusqu'à la première.

20. Pour déterminer les intégrales d'un système complet d'après les méthodes précédentes, on aura à intégrer successivement plusieurs équations linéaïires. On doit à Mayer une méthode ingénieuse laquelle n'exige que l’intégration d'une seule équation linéaire. Cette méthode est fondée sur le théorème suivant :

THéorème IIL. — Soit x,°...x, un système de valeurs des variables x,...x, au voisinage desquelles les coefficients du système jacobien of Or. of n° DUR TS ere RCE ETS Or 0 RE (33) Cat i, 9—+1 gx + ryn Os ( q) se comportent régulièrement; 1 existe n-q intégrales 1, 4, » Vs de Ce

système, holomorphes au voisinage du point 2,°...x el se réduisant respec-

livement à Logis Loose , ©, pour

Pour abréger, nous rattachons la démonstration de ce théorème aux idées de Mayer, d'après les indications de M. Goursar ‘).

Posons, tout en conservant les variables %,,1,%,,9,...,4,, (34) Li = LH Y, Lo = A+ YiYas se > By = Lg + Ya.

Cette substitution remplacera le système (33) par le suivant

AT of DT Y,f = TA + Pi, a+1 yat esse + Pin CR 0, LU of SE (35) Yf = ÔYo + B2,4+1 EU MT. + Pan Dati Qu of (Je Yaf = DTA + Pa, a+1 EU DAT ae + Ba, n PAT 0; où (36) Bai = [Ci] +22: +... + Yal Coil br ee Box, à = Y: [Ci] k =hae q

1) Loc. cit. p. 60.

les fonctions mises entre crochets étant exprimées au moyen des variables

Yi Yys Lyxie.-2,. I] résulte de la proposition 1° du n° 13 que les équations

(35) constituent un système complet équivalant au système proposé. La forme

même du système (35) fait voir, dès lors, que c'est un système jacobien. Considérons, en particulier, la première des équations (35)

TROP D of PERLE CA 4 ne Pa, a+1 PEL HET + Pin 0x, — 0.

D'après l'hypothèse admise relativement aux coefficients C;, du système proposé, on pourra écrire les coefficients de cette équation sous la forme

(37) Pi = Fa + yo Fo +... ae G—=g+1,...1), les Æ désignant des séries procédant suivant les puissances entières positives des quantités

(38) Yi YiYas » JiVas Loi Lgpis tt y En Ln® . Il s'ensuit, en particulier, que ces coefficients sont holomorphes au voisinage des valeurs

bai rs les 1e A0 Ni 0 (39) = Va = = YO, aa.

En se reportant au célèbre théorème de Caucny sur l'existence des intégrales des équations différentielles !), on en conclut que, étant donnée une fonction P(x,1...2,) des variables æ,,,...æ,, holomorphe au voisinage du point +,,1...æ,° mais du reste quelconque, il existe une intégrale, et une seule, de l'équation Y,f=0, holomorphe au voisinage des valeurs (39) et se réduisant à (x,,1...#, pour 7,=0. Soit cette intégrale. Nous allons démontrer que ® vérifie aussi les autres équations (35).

On aura, en effet, d’après la définition même de l'intégrale ,

D — p (ati cn) + Ya Ê(Qh +" Var La+1 * * An) d'où Ya D = Y:p+y Vif (E = 2.:.q).

Comme

$. ûg dp , fre. 128 ce À: @p = Drabl Burt LE abe e Le 4 By, ñ dx. = Ÿ/; (LG ra AMEN SALUE :a | Cx, #4 al ?

nn.

d'après les relations (36), l'expression Ÿ,@ contient y, en facteur et s’annule, par suite, pour 7, —=0. D'autre part cette expression est évidemment holomorphe au voisinage des valeurs (39) et vérifie l'équation YŸ,f—0o, puisque le système (35) est jacobien. Or, nous connaissons déjà une intégrale holomorphe

1) Cf. Goursar, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, p. 17.

49 E. LINDELOF.

de cette équation qui, pour y, —0, se réduit à zéro, savoir l'intégrale évidente

f—0o. Donc, puisqu'il n'existe, d’après le théorème de Caucay, qu'une seule

intégrale qui satisfasse à toutes ces conditions, il faut qu'on ait identiquement ŸL D' = (FH = e 10)

est donc une intégrale commune de toutes les équations (35).

En construisant, au moyen de l'équation F,/=o, la série qui représente la fonction d au voisinage des valeurs (39), on trouve sans peine, en tenant compte de la forme (37) des coefficients de Y,f, que les variables 7 ...y, ne figurent dans cette série que par les combinaisons 1, 1%, :-., %1%,. Il en résulte que @ est une fonction holomorphe des quantités (38). Par suite, en remontant aux variables primitives ,...2,, ® se changera en une fonction @ (x, ...x,) holomorphe au voisinage du point z1°...x,. Cette fonction ® sera une intégrale du système (33), d'après la proposition 1° du n° 13, et se réduira à g(x,,1...,) pour

Pour achever la démonstration du théorème IIT il ne reste qu à spécialiser la fonction g(x,,1...#,). ÆEn effet, en prenant pour successivement les variables Æ,31, Zoso, -., ©, On conclut de ce qui précède que l'équation Y,f=0 admet, en particulier, #-q intégrales

Yi ; Yo, RO PE , (IPEPR holomorphes au voisinage des valeurs (39) et se réduisant respectivement à Cox s Lot2s 5 Ts DOUT Y=0. En revenant aux variables ,...+,, ces fonctions w1...w,, nous fourniront évidemment les intégrales y,...#, , définies dans le théorème III. L'existence de ces intégrales est donc démontrée.

Dans la méthode de Mayer pour l'intégration d'un système jacobien (33), on cherche précisément les intégrales particulières 4,...w, , dont nous venons de démontrer l'existence. En faisant la substitution (34) et en formant comme plus haut l'équation YŸ,f—=o, on sera ramené, d’après ce qui précède, à déterminer les intégrales 4, ...w,, de cette équation qui, pour y, =0, se réduisent respectivement à x,,,...4,. Nous allons démontrer que, l'équation Y,f=o une fois intégrée, la détermination de w,...w,, n’exige que des opérations algébriques.

Supposons, en effet, que, de l'équation Y,f=0o, on ait obtenu #-g intégrales quelconques

A (Ua: Vas data Œn) serre s fa Qi ++" Vas Lat1*"Ln), holomorphes au voisinage des valeurs (20) et formant avec les intégrales évidentes 7...y, un système

(40) Yan Ya5 °°" 5 Yarlis last; fn—as de fonctions indépendantes. Pour y, =0o, l'intégrale f; se réduit à

FCO Yo: Ya Patte du) . D'autre part la fonction f,(0 ÿ...y,, 1...w,-,) est aussi une intégrale holomorphe de l'équation Y;f=o, qui se réduit à f(0 y...y,, %,31-..x,) pour n=0. D'après le théorème de Cauchy il faut donc qu'on ait identiquement

fi Qi Vas Dati ee dn) = fi (0 Vars Yar Wir Wn-g) = r..n-9). Il est toujours possible de résoudre ces équations par rapport à 4... w,, Car, sans cela, on arriverait évidemment à une relation entre les fonctions (40). Les intégrales y,...w, , se trouvent ainsi déterminées par les équations précédentes, et en remontant ensuite aux variables primitives *,...*,, elles nous donnent immédiatement les intégrales cherchées w,...w#, , du système jacobien (33). L'intégration de ce système par la méthode de Mayer n'exige donc que l'intégration de la seule équation Y,f —0.

21. Reprenons le système linéaire (1) SNS RL E ER or RE sr 12) LE a ET (= 1...) i i1l\w1 ñ 0%, # 1 En 0x, )

considéré au commencement de ce chapitre. Pour intégrer ce système par les méthodes précédentes, il faut le ramener d’abord à un système complet, lequel ensuite doit être transformé en un autre système complet d'une certaine forme spéciale. Nous allons montrer que l'intégration du système (1) peut s'effectuer en opérant directement sur les équations qu'il contient, sans former de nouvelles équations et sans aucune transformation du système.

Considérons une des équations (1), soit X,f—0o, et imaginons qu'on en ait obtenu n—-g intégrales distinctes

hd), fait An)sreeee ; fn1 (ri + Xn) :

Nous admettrons, ce qui ne restreint pas la généralité, que ces intégrales sont encore indépendantes lorsqu'on les considère comme fonctions des seules variables %,...æ,,, en sorte qu'il n'existe aucune relation entre les fonctions (41) 512) SES sÎn-1, Lne Celles-ci peuvent alors être introduites comme nouvelles variables au lieu de D TL.

Cela posé, soit dans les équations (1) f une fonction de f,...f,;

f = fi cfa);

et remplaçons ,...+, en fonction des nouvelles variables (41): il vient

44 E. LINDELÔF,.

QU) Af= RASE +R + +R AIT G=a.n),

en vertu des relations hi = fi(m:2) (= 1...n-1), les quantités mises entre crochets étant exprimées au moyen des variables (41). Dès lors, en désignant par ® une intégrale quelconque du système (1) exprimée en fonction de f,...f,, on aura les égalités 0® 0®D 0®

Lil XFN EE; He (IX = 2:--h

[ fi] 0f; +[ fo] Of» + + fn— 1] df,- ET ( u), lesquelles doivent subsister identiquement, puisqu'il n’existe aucune relation entre les variables (41). Par suite, @ est une intégrale des équations

UD APE RAGE + +R =0 Css)

où +, joue le rôle d'un paramètre. Réciproquement, d'après les égalités (42), toute intégrale des équations (43) qui ne dépend pas du paramètre x, vérifie le système (1). L'intégration de ce système est donc ramenée à la détermination de celles des intégrales des équations (43) qui sont indépendantes du paramètre x,. Or, cette détermination ne présente pas de difficultés particulières. En effet, considérons p.ex. l'équation X:f/—0, en l'écrivant, pour mettre en évidence le paramètre #,, sous la forme of Auf = 0 (a) PE + (en) Etre + Qu (es) SE n —1 et substituons dans cette ie à æ, successivement s constantes indéterminées &,...@,, le nombre s étant choisi de telle sorte que tous les déterminants d'ordre s+4-1 contenus dans la matrice

AG) BG) + + La) | Aa) Aa) : + 9, (a) | | Aie) Ma) : : Ay1(x) |

soient identiquement nuls, mais que les déterminants d'ordre s ne disparaissent pas fous à la fois. Alors, en posant of Ô Xf= «2, (œ JE EE Q, (æ;) ôfe tarte + 9,1 (c) à (i = es), of fn=1

l'expression X,f pourra être mise sous la forme

a) 0 (41) Xof = @ù (fe fuir Tn) Xo fers + (fe fn ridn) Xe PF,

. : — — s) a ÉLPSNS er. a £, tandis que les expressions ue 1f...xs f seront linéairement indépendantes.

Toute intégrale de l'équation différentielle X:f—0 qui ne dépend pas de +,, satisfait évidemment aux équations

0 (a) AUS (45) Ko (00, RACE A2 f = 0.

Réciproquement, d'après l'égalité (44), toute intégrale du système (45) vérifie l'équation X:f—0. -Par suite, cette équation peut être remplacée par le système (45). — En effectuant sur les autres équations (43) les opérations faites sur l'équation X:f—=0, on parvient également à les décomposer en certaines équations aux variables /...f,1, analogues aux équations (45). Réunissons alors toutes les équations obtenues par la décomposition du système (43); on aura un système d'équations linéaires ne contenant que les variables f...f, et dont les intégrales communes, exprimées en fonction des variables primitives æ,...æ,, nous fourniront toutes les intégrales du système proposé (1). Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante:

Étant donné un système d'équations linéaires à n variables, si l’on « intégré une quelconque de ces équations, on peut ramener le système, par un changement de variables et par des opérations algébriques élémentaires, à un système linéaire à n-1 variables admettant les mêmes intégrales que le premier.

Remarque. Les raisonnements précédents sont encore valables lorsqu'on substitue à «,...«, des valeurs numériques «,°...«,, telles que les déterminants d'ordre s contenus dans la matrice COCA AT CT) CNRS CET CA Dax) (a) + + Qs1(œt)

ne s’annulent pas tous à la fois. En choisissant convenablement les constantes

«...u on pourra évidemment simplifier beaucoup la forme des équations (45).

29. Pour effectuer en réalité la décomposition des équations (43), il n'est pas toujours nécessaire de suivre la méthode un peu longue décrite dans le numéro précédent. Dans les applications il suffira le plus souvent d'avoir recours à la proposition suivante:

Supposons qu'en rapprochant convenablement les termes, on ait réduit les équations (43) à la forme (46) Xi f = Ba (fie fn1s En) Faf + AMIE + Bic, (fi :** fn—15 En) Fi6,[ = 0 ({i—=2...u), où

Firf = Pin : HET) d Re + P,2,n1 (fi * fn=1) UE Ç |

46 E. LINDELOF.

et où les quantités B;,, B;,,...., B;,, sont linéairement indépendantes considérées comme fonctions de la seule variable +,, en sorte qu'il n'existe aucune relation de la forme

(47) Bis (fee Pas) Bin + Pie (fi + fus) Bio + + Go, (fi: + fn1) Bic, = 0,

à moins que les coefficients (1, (%2,...,f, ne s'annulent tous à la fois; on pourra remplacer le re proposé (1) par le système à n—1 variables (45) Birf = Pi (fn f) SE DE + Pir,n1 (fi: fn1) de = 0 ( ; AA

SEE Cette proposition se nu immédiatement. En effet, en désignant par d une intégrale quelconque du système (1), exprimée en fonction de f...f,1, on aura identiquement, d'après le numéro précédent, X: D = F0. Bi + E2®D.Bs+...... + Bo: 0. Bio; = 0 (=: 25e/u Ces relations ayant précisément la forme (47), il faut, d’après l'hypothèse, que les coefficients Æ,,D s’évanouissent tous. ®@ est donc une intégrale du système (48). Inversement, d'après les égalités (46), toute intégrale de ce système vérifie les équations (43) et par suite, d’après le n° 21, aussi les équations (1). On peut donc substituer le système (48) au système (1), €. q. f. 4.

Afin de montrer le parti qu'on peut tirer de cette proposition, nous en ferons l'application à un exemple. Soit donné le système of of X Ness 2% —— “A Ps 1/ Gi] Ôty 7e 1 0x , Le of à of AS = UM DE pe DZ 2%5) == — 24% = = 0 Ê Sr 5, + (Gi? 5); 1 7, ;

proposé par GRAINDORGE |). Pour déterminer . intégrales de ce système en suivant la méthode que nous venons d'exposer, nous intégrons d'abord l'équation X,f—0o, d'où nous tirons immédiatement les intégrales

Li, Lo, Lg, P = Ai” Las?

Considérant ensuite, dans l'équation X,f=0,f comme fonction de #,, 4,43, Ÿ, on trouve

of of D 5 yo ONE DORE SE KR + À, A Gp +de 7 T1? 0x, TA EPA TE di — Ds) re a et, en faisant la substitution te :

Er |

of of 2 de æ: CU CPR L + ts? —2%s + Sie: 0 0%: ( o] p) 0: ?

1) GRANDORER, Mémoire sur l'intégration des équations aux dérivées partielles des deux premiers ordres (Bruxelles 1872), p. 85.

ou encore, en réunissant les termes qui contiennent la même puissance de #;,

9, of 2e, (JE of )+as ‘3 0x Rae 0X9 sup: ru x | s JL = Il s'agit de déterminer les intégrales de cette équation qui ne dépendent pas de æ,. En se reportant à la proposition démontrée plus haut, on voit immédiatement qu'on les obtient par l'intégration du système

Fr. DM CERC Er

Oo EPA HER contenant les seules variables &,, 4,43, g. Ce système se réduisant à

0 ÿ) of LRU Ie dx 0% 03

on en conclut, que le système (49) admet l'intégrale

P= AL et que toute autre intégrale du système s'exprime en fonction de #. A titre de comparaison, nous allons maintenant intégrer le système (49)

d'après la méthode ordinaire, en le ramenant d'abord à un système complet. Formons à cet effet l'expression (X; X,); on trouve, après quelques réductions,

XX) =27 Ce ur A — 2% Xif.

En posant

on sera donc ramené au système NE 0, Xi 0, HET 0.

Formons maintenant les expressions (4, X;) et (A2 X:); on aura 7 Fr 0 = ; (Xi X3) = 2° JL (X2 X3) = 0,

et par suite, en posant X,f— D on pourra remplacer les équations (49) par le système des quatre équations Xf=0, X2f—=0, X3f=0, Xif=0.

Les parenthèses (X;, X;), (X:X,) et (X;, X;) s’annulant identiquement, on voit que ces équations forment un système complet. Celui-ci se réduit au système plus simple ie ue

D PH: On Ton

CRE RONA Of

2%s L?=—-—0, Li 3 ——-2% ——-—=0 5 02, L 0x; d'or, # ox, ÿ

48 E. LINDELOF.

lequel est équivalent au système jacobien

Get 0[ 102 DNA GE Of a DH Of 0

TL À Lr 0 A — En Te ns PR LT ne = VÆ D nr .

ÎTo ; 03 d DT, T5 0%; ; dx, 2%; 0x; Il s'agit d'intégrer ce système. — Les trois premières équations nous donnent

immédiatement les intégrales

Lay P— Li da 5.

Considérons donc, dans la dernière équation, f comme fonction des seules variables æ, et ; elle deviendra

Die

et on en conclut, comme plus haut, que toute intégrale du système proposé

(49) s'exprime en fonction de l'intégrale g=x"x,-2.

23. La méthode nouvelle que nous venons d'exposer présente des avantages tout particuliers lorsqu'il s’agit de calculer les invariants différentiels d’un eroupe continu en partant de ses transformations infinitésimales. Considérons, en effet, un groupe continu à 7 paramètres @&, engendré par les transformations infinitésimales indépendantes

X;f, Xof, EUR » Arf.

Nous avons montré, dans le n° 10, que les invariants différentiels du groupe G (relatifs à une certaine division des variables) jusqu'à l'ordre » inclusivement se déterminent par l'intégration du système linéaire (») ;() (@),

(50) Xi f=0, X2 f=0,...,X, f=0,

(v LS : à rÈdE les VX 1 désignant les transformations infinitésimales obtenues en prolongeant v fois les Xf (suivant la division admise des variables).

D'après un théorème général cité dans le n° 1, les expressions X,f... X,.f vérifient des relations de la forme

k (51) (X;: X%) = Xi (XF) = Xe (XP) = Ÿ One XF (= I 7),

les C;. désignant certaines constantes, et nous avons vu p. 23 que ces relations entraînent les suivantes

, x / de \ (52) Ga) = VOX f : Gh=rt):

SYSTÈMES COMPLETS ET INVARIANTS DIFFÉRENTIEIS. 49

Or, il se peut que les expressions X,f...X,f se déduisent toutes de certaines d'entre elles, soient À, /... X4,/, de manière que, Si l'on forme la suite

X ul; (Xa Xu, )) (Au, (XX a)» si Hé (G,6,j,..—= 1.5),

toute expression X,f sera une fonction linéaire à coefficients constants des expressions contenues dans cette suite. Alors, d'après les relations (51) et (52), XV)f Tex se déduisent de la même manière des expressions XUf AN et on pourra, par suite, remplacer le système (50) par le suivant ARENT APE op, GE 0.

Ainsi, pour calculer les invariants différentiels du groupe G, on n'aura à prolonger que Xu f...X,,f, et on pourra laisser de côté les autres transformations infinitésimales du groupe. Le prolongement exigeant souvent des opérations assez longues, on voit que l'emploi de notre méthode fournira, dans plusieurs cas, une réduction notable des calculs nécessaires.