APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES A QUELQUES GROUPES PARTICULIERS
Nous allons expliquer par quelques exemples les méthodes exposées plus haut pour le calcul des invariants différentiels, ainsi que la nouvelle méthode d'intégration des systèmes linéaires que nous venons de proposer.
24. Soit donné le groupe linéaire à deux variables (1) EE ANS J=at+bhiy+a.
Nous allons calculer ses invariants différentiels successivement d'après les deux méthodes exposées dans le n° 10. — En appliquant la méthode de M. TResse on aura à procéder comme suit.
Définissons y en fonction de x en posant
@) V=Vo = D 0) + pa (ea) +,
\ Pre 1 1 (A î ,
où l'on a écrit y, à la place de : sl . On aura alors entre y et «° une x (A dx L=4X
relation semblable: £
(3) Y—y0 = Yi (eo) + yo (2) +...
50 E. LINDELÔF.
x et 7) ayant les significations To = AT +bYo+C, Yo = Mao + biYo +4.
Il s’agit de déterminer les coefficients 7,%',.... Ecrivons à cet effet les équations (1) sous la forme
fa 20 = à (t-%0) + b (y Vo), | 1 — Yo = di (&— 70) + db; (Y — Yo);
et remplacons 7-7, par l'expression (2); il vient
dt = (a + by) (20) +0 vx -20)? + D y (2-20) +... ’
Y—Yo = (ai + by) (@—20) + bi yat do)? + dy (2-0) + 2 En substituant ces expressions dans le développement (3) et en égalant ensuite les coefficients des mêmes puissances de æ—a° dans les deux membres, on obtiendra un système d'équations linéaires dont nous écrirons ci-dessous les cinq premières:
M +bhy = y (a+ by), ; bia = Y1 0Y2 + y (a + by), < (4) biys = y 0y3 + 2y9 bya(a + by) +ys (a+ by)", biya = Yi by + ve y + 2bys(a + by)] + gs | 1 + ya (a + by), : ! by; = y 0y5 +292 [b?v2ys + by + dy] + y 1 +4 ba + by) +ys (a+ by), lesquelles déterminent les cinq premiers coefficients du développement (3). On aura maintenant à disposer des paramètres à@,0,c, @,b;,c,, comme il a été dit dans la règle p. 24. A cet effet nous réduisons d’abord +, et y à zéro, en posant C—=—(ato+bys), € = — (a Lo + bio):
Puis, si l'on fait M +biy =0, bye = (a +by)?, les deux premières équations (4) nous donnent y/=0 et y =1. On pourra encore réduire % à zéro et y; à l'unité en faisant successivement
ACL ONE pe CETTE Te Ys AY
Les paramètres étant ainsi complètement déterminés, la dernière des équations (4) nous donne (OE 8(ya Y5—3YaVaYa Æ 2ys)
(Ayyi=5y )? | d'où l'on tire enfin, en supprimant un facteur numérique, l’invariant différentiel du cinquième ordre du groupe (1)
or or (4
1 9° 99-45 v'v" y LRU (899 °-5y" 7)?
Proposons-nous maintenant de calculer l’invariant 7 en partant des transformations infinitésimales du groupe (1). Ce sont les six transformations suivantes
Af= SE if = SE Xf = LE Xif = y. LE Vo: XGf = x 2
Comme X6f = d. X5) + Auf, on n'aura à considérer, d'après le n° 23, que les cinq premières de ces transformations. En prolongeant celles-ci cinq fois, on trouve
Ô PDA Of FO Me Appt :
9% ia 1. ji soft VE 54 »2 U ’ zu de tr un Rudi nenou d ue CONSO e
LZ4 È ’ 0 Me +15ÿ"y°+6y pm:
L'invariant cherché se détermine par l'intégration du système linéaire (6) nf 0, MT Ds 0; fr 0, KT 0.
En vertu des trois premières équations, lesquelles se réduisent à A2 UE PNA) el LE = O0, dy = 0, dy 10), on pourra écrire l'expression X,°f sous la forme -y Y,f-Y,f, où 0 WA, 0 5) O Ff=3y ir +4y Se + 5ÿ° ane + 697 D 7a0f OL 2 @\ .
Fred ré 4 a + (UOy +15y'y 35:
et comme, d'après l'équation do, l'intégrale du système (5) ne dépend pas
de y, l'équation X, rs —0 se décompose, par suite, en Y.f—o et Y;f=0o. Le système à intégrer devient ainsi, après une réduction facile,
1, de y” of (4) Of (5) of — y ra ct ÿ a» TY EDR 5) 0 à 7 +2 ps ge 0, "2 of MO I NT Of 10] | 3y Fr Fr) + (10y" + 15y y 5
52 E. LINDELÔF.
Si l'on prend pour nouvelles variables les intégrales
7 (4) (6) En ee UE 2— 7) = 7I 5 Tr y y de la première de ces équations, on sera ramené au système of of of 23 =— +2 ER [aa ras sain se,
Of Ë JL +102 0 + (1023 2 +154) 9 0:
La seconde équation nous donne les intégrales WU 3zi-523 , Us 0245232 + 4083 ,
et en prenant celles-ci pour variables, la première devient
Ô of vu ge +aus se = 0
Us:
d’où l’on tire enfin l’invariant En remontant maintenant aux variables primitives, on trouve us. 92545232 +407 OYT V9 ne VOTENT ue (32-54)? “ (3Y° y ES 492 D'après le n° 11, toute relation f(1)=o fournit une équation différentielle qui restera invariante par rapport aux transformations du groupe linéaire. En particulier, les équations = 3y"y°-5y""=0, us = 9y" "y —45y"y"y" +40oy"° = 0, seront invariantes. La première d’entre elles représente géométriquement l’ensemble de toutes les paraboles du plan, la seconde est l'équation différentielle bien connue des sections coniques.
Pour calculer l’invariant du sixième ordre du groupe (1) on n'aura qu'à pousser les calculs précédents un pas plus loin. En appliquant la seconde méthode, on obtient cet invariant sous la forme
OY" y 63%" y" y SL 105y"y E = (4) 2 Gy'y°-59"°)"
En ayant égard aux développements du n° 11, on voit alors que les expressions
a, y 4, y dk
al al dI
seront toutes des invariants différentiels du groupe (1), et que tout autre invariant de ce groupe s’exprimera en fonction des invariants Z, Z, L etc.
Te bte OLIS
25. Proposons-nous en second lieu de calculer les invariants différentiels du second ordre relatifs au groupe formé par les transformations des coordonnées rectilignes de l’espace à trois dimensions. Ce groupe est engendré par les six tr aSÉOrMAUONS infinitésimales
0f 0 He à FE : y 2 0 : 0 x, NT 0 ÿ un
parmi lesquelles les trois premières représentent les translations suivant les axes des coordonnées, et les trois dernières les rotations autour de ces axes. En vertu de la relation
(Ai X5) = X6f,
on pourra laisser de côté la transformation X;,f et, par suite, on n'aura à prolonger effectivement que les transformations X,f et X;f. En considérant 2 comme fonction de æ et 7, et en posant
DE ALES ONU EU NUE PRO CEE dx ?? 0y TZ 9 ?? Ox0y 0 — on trouve
(2) ie of OT MAROT Of
Xi f=y AO ne Dore SUPRPICE EEE TER
(2) . 0 of of
X5f=2 D = RTL (1 +0 = Gps+ an) (24540) T1 -8at et le système à inté@fér devient
Ô Ô of ro ni Jar (= à (6) of
va sl + (+0) 5 on + (gs+p0 1 FETE
De la première équation on tire sans peine les intégrales
3, 2 2 2 2 =D HIT, Pa=r+il, pris, pa=pr+2pqgs+aqt, et en considérant f comme fonction des seules variables #,, >, ÿ3, ÿ1, on pourra écrire la seconde équation sous la forme
of of
Or, le rapport des coefficients g et ps+gt ne vérifie pas la première des équations (6) et, par suite, ne s'exprime pas en fonction de ®,%, Ps, fi. En
a LG +) + m5 + aq D +3 SE J+2 @s+a0 QE + (+9) =.
54 E. LINDELOF.
se reportant à la proposition du n° 22, on en conclut immédiatement que les invariants cherchés doivent vérifier séparément les équations
of 11 2e [on + G+e ut =,
of
0 Ô LG +e SE + on 5e + 4 f
of Le Pa
La seconde de ces équations admet pour intégrales
2 1 1] : > 3 Y, = Pa Yo = Pa . Ws = Pa
ET LEE. 1+ps et la première s’écrira, en prenant Ÿ,, Y,,W, pour variables, of 1 of / — 10 | Y: OW; Le 3 VYs GLUR
Cette équation admettant deux intégrales indépendantes, il existe deux invariants distincts du second ordre de notre groupe. En particulier on aura les invariants suivants Pa “ec rt G+p) G++d) m=VH— Vs? (1+p:) Pa Pa LA r(i HAN) APE AGREE : (+)? (++)?
lesquels reproduisent deux expressions bien connues dans la théorie de la courbure des surfaces.
AIR Le
26. Cherchons encore à établir les transformations infinitésimales du groupe formé par les transformations conformes de l’espace à trois dimensions. Ce oroupe est complètement déterminé par la condition qu'il transformera deux surfaces orthogonales quelconques en des surfaces orthogonales, ou autrement, qu'il laissera invariante l'équation (7) PP1 + 9h = —1,
p,q et f1, 4 désignant deux systèmes différents de valeurs des dérivées
et se Dès lors, en désignant par 6f l'accroissement d’une expression quel-
conque f, dû à une transformation infinitésimale arbitraire du groupe considéré, on devra avoir
(8) À (PP1 + QU) = POP: + Pi 0p + 0 +H0q=0,
en vertu de la relation (7).
Posons dx = E(xyaôt, dy = y(xyadt, dz = É(xy2)ôt ;
on aura, d'après le n° 9,
dé d£ dy m0 0 £ = re POLE Ro Rr dé dE dd. à , à/?
ôa =(y-? 14, ag) de, HN NS 0e
0p, et 0g, se déduisant de dp et dq en y remplaçant p et q par p: et qi (voir le n° 7). L'’équation (8) devient alors, en tenant compte de la relation (7),
MAQUIS O6 0 dË 0 Om , dE +), + 1e ) +U+a) (4, REV pp (on) 24e )e a + (+5) — 6, et comme cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de p, 4,2, di, qui satisfont à la relation (7), il faut qu'on ait séparément OÙ 0E 0Ë OÙ 08 0€ 07
O) AE EE OT UE ni 2
Il s’agit d'intégrer ce système. — En différentiant une première fois, on trouve
dE dy dE
Oy0z 0x02 0x0y LATE RAP OR PEUR:
OxÔy Oxdz dx? dy? de?
EN RTUUIR A IC RENTE NCA Oydz Ox0y x? 0ÿ? 02 dE dy ae MARRAINE à 4
Onde — dyde — dé 0 0
On en conclut, en différentiant encore une fois, que les dérivées du troisième ordre des quantités £,7,£ s’annulent toutes identiquement. Ces quantités ont, par suite, la forme de polynômes du second degré en x,y,2, et en déterminant, au moyen des relations (9) et (10), les coefficients de ces polynômes, on trouve enfin
E(cy) = h+ax+by+cz+4A(x -y — 2) + Bay + Cxz,
n(cye) = ka — ba + ay + de +1 B(y -x — à) + Cyz + Aya,
C(æyz) =ks = cx -dy+az+iC(é -à -y) + Azx + Bey, ki, Ko, ks,4a,0,c,d,AÀ,B,C désignant des constantes arbitraires. Le groupe des transformations conformes de l’espace ordinaire est donc engendré par les dix transformations infinitésimales suivantes
6 E. LINDELÔF.
L 0 ) 7 3 2 NO 0 fe Te, af n, xf (pt 2) 20 (40 PET,
0y YO OEIS ; ; ANT a Eee Pr /:
nr À. X51 = su Xsf = (y a #) 5 +ay v(5E+e 5), : jf EU TR a PEN Te Me Xf=ss gr fe (dy) parfait),
us SO of 2e X 10/ as #2 x Ty Ÿ y + 2 lesquelles sont évidemment toutes indépendantes. Proposons-nous d'examiner s’il existe des invariants ou des équations in-
variantes du second ordre par rapport au groupe considéré. — En vertu des relations
(Lx) = Xi (Xi x) = RON X) = XI, on pourra laisser de côté les transformations infinitésimales X,f, X,f, et Xf, et le système à intégrer deviendra par suite
(1) XPf=0, Xf=0, Xf=0, Xf=0, Xf—0, Xf—0, XF = 0.
Les cinq premières équations ont été calculées déjà (p. 53); pour se fet x
on trouve les expressions
Xof = Xnf-r À Je pe mL XF = Xif+ 2 [+0 — av] “ +2ply+ae) + 2[p(1+p9) +3pr2-2sy-rax] .
+ 2 [»°q +2psz—sx—ty +7 (y +2) ce 2 [p(1+ 9) +2s(y+q2) +ptz-xt| de Prenons pour nouvelles variables les intégrales
=D +g, p=rtt ps=rit-s#, p=pr+2pqs+dt,
des quatre premières équations (11); on trouve, après quelques réductions faciles, Xi f=g f+2(bs+ at) Nif, Xi f=2pe Yif+az(pr+gs) Yf+2pYf-2æ& if, Xof = - Vif, où
0 0 nee +ag sr +395 à
rf=S = LG + on) je
0f Ô 0 Yf= (2 De à GH) 5e
; 0 APTE +2 DER + qu
et on en conclut, par un raisonnement analogue à celui dont nous avons déjà plusieurs fois fait usage, que le système (11) pourra être remplacé par le système (12) 11=0; Pif=0, Yf=0, Pf=0, aux variables ®,, P>, Ps, P,, lequel se simplifie encore en substituant à Y,f—0o l'équation of of Yaf = pi Yaf = 2<— 1 — Pa] =— = 0.
31 — Pa Yof TL +91) — al ps
Introduisons pour nouvelles variables les intégrales
PR CE PPS G+p) (1+q1) à
des deux premières équations (12); on sera ramené au système
» of 0 ne of CIE GER
V1+ pi (af — Pi Yaf) = %2 RE da —
Comme ces équations sont linéairement indépendantes, le groupe considéré ne possède aucun invariant du second ordre. En revanche, il existe pour cet ordre une équation invariante
