LEA

Ces transformations sont complètement déterminées par les expressions À, f...X,f, qui peuvent, par conséquent, servir de symboles pour les représenter. Aïnsi nous dirons simplement que le groupe (1) contient les transformations infinitésimales X;f...X,.f.

Ces transformations sont dépendantes ‘), en ce sens qu'il n'existe aucune relation de la forme

GXf+CGXif+...+CXf= 0,

les C désignant des constantes qui ne s'annulent pas toutes à la fois. Toute autre transformation infinitésimale du groupe (1) sera une fonction linéaire à coefficients constants des X,/f...X,.f.

Par les expressions X,f...X,f l'ensemble des transformations du groupe (1) se trouve entièrement déterminé. En effet, # est possible d'introduire au lieu de a;...a, de nouveaux paramètres 1,...2,, de manière que les équations du groupe se présentent sous la forme *)

(3) ALT D her dit Ÿ ER LP UGE ren):

Ceci nous conduit à définir le groupe comme étant engendré par les transformations infinitésimales X,f...X,.f. De cette mode de génération il résulte aussi qu'à toute transformation du groupe correspond une autre qui en est l'inverse.

Les équations (3°) peuvent être remplacées par la formule plus générale *)

(4) Fr san) = fear) + D dx Xxf + D) dx À; Xe (XF) +, le k,j où f désigne une fonction quelconque.

Les transformations infinitésimales X,/f...X,.f jouissent encore de la propriété importante de satisfaire à des relations de la forme

(5) X; (Xxf) — Àr (X f) — D Cirs X; l' (ë, KT: r),

les C;, désignant des constantes ‘).

1) Sopaus Li, Transformationsgruppen, I, p. 67. 2) Ibid, p. 75.

3) Ibid., p. 74.

INIGIG,uieLo0,

6 E. L'INDELÔF.

2. Les variables :,...:, peuvent être interprétées comme les coordonnées d'un point dans l’espace à x dimensions. Fixons dans cet espace un point quelconque 25, (x,°...x,°), et considérons l'ensemble, $,,, des points où P, peut être transporté par les transformations (1) '). Cet ensemble, que nous appelerons, pour abréger, {a multiplicité transformée du point P,, est définie par les équations

LA = f; (a 110 La di » Xe ay) (à == L'or n),

où &,...a, désignent des paramètres arbitraires. Soit ?,, (x,...x,), un point

quelconque de $S,, et T une transformation du groupe (1) qui change P, en P,. On aura, en se servant de la notation usuelle,