MERDE

1) A. TRESSE, Sur les invariants différentiels d'une surface par rapport aux transformations conformes de l’espace, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séance du 19 avril 1892.

D8 E. LINDELÔF.

fait usage et qui est en quelque sorte une combinaison des méthodes exposées dans le n° 10, s'applique aussi à quelques autres groupes spéciaux.

27. Le groupe des transformations projectives à deux variables (x, y) est déterminé par la condition qu'il laissera invariant l’ensemble des droites du plan. En désignant par 6f l'accroissement d’une expression f dû à une transformation infinitésimale quelconque de ce groupe, on aura done 67”=0, en

mn . , 1 L vertu de la relation y”=0'). Or, en posant

dx = E(xy)dt, dy = y(xy)ôt, on trouve, d'après le n° 9,

on 62 1) af - LE RCE (a GE NONUE 6 — dt Voroy où) 7 age 2on0y) Ÿ opt Ÿ y? ar É)

Cette expression devant s’annuler identiquement pour y’—0, on en conclut que £ et y satisfont aux équations

RON NT ENST 5 UE: dE

Oz — °? ? Oxdy D Op Ox0yÿ — “, y

d’où l’on tire facilement

E = +07 + GY +032 + Ty) n=bo+ha+by+a2y +",

A5; A, A, A3, a, Vos À, > désignant des constantes arbitraires. Le groupe considéré est donc engendré par les huit transformations infinitésimales indépendantes

z 0 2 0 0 : 2 0 xf=", XV a, X RES Y5 “a Ar =d LE ay …

ES SAT 0 of à,» 0 Xf= 5 Xf=eshs Xif= vs Xaf=ay se + PS

Proposons-nous, comme dernier exemple, de calculer les invariants différentiels du groupe considéré jusqu'au septième ordre inclusivement. En vertu des relations

(A À4) = X5f, (Xi Xi) = 2 X3f + X6f, (Xi Xe) = Xif, (Xe Xs) = X3f +2 X6f,

Xaf = ?/3 (Xi Xr) — 3 (Ko 3), X6f = ?/3 (Ka Xe) — 1/3 (Xi À);

on n'aura à prolonger que les quatre transformations infinitésimales X,f, X°f, Xif et X4f. On trouve, en les prolongeant sept fois,

d’où

1) Cf. Soprus Lire, Vorlesungen über Differentialgleichungen etc. (G. SCHEFFERS) p. 389.

HR ONE (0 Of AR of Xif= 5 Xo fe Xi f— PTE TA

() 0 TE A0 f = ay SE +951 + Guy «y 3

of »

Je = GYV + 3xy

+ALYY +YyY D oe

(6 +8yy"+102y"y"+2yy +52y y dE me

= (809"y"+ 159" +152" y" +100" +3yy + Gays DES 2°

— (Go yo + aop" + 24 y +1 ag + 35 ay 9 + ay + 7e y TU (reg -105y +350 00 45620" 28e 0 9° +350 +570 + Bay y ° D I s’agit d'intégrer le système

7 7 (7) (14) RE GX = 0 if 0, Xe f = 0.

En ayant égard aux trois premières équations on pourra réduire la dernière à la forme ë

2ÿ Yf+y Yaf+a Vf+y Yif+ Yf= 0,

où Se e y Te y ® : (6) . (7) Of : ; 0 0 Of AE ay" Se La Fra ue (6) x #

ia 1. 10y"ÿ" LE au + (80 9 +10ÿ" 1 D + (19 904 355 a ü

Ac

m Ô 9 of )9 n Ô PEN +200 + 890 a + au Cu

ve y®

” 0 AO 2 rf=6y" 2 + 30y"y % Le + (6oy'y + 407" de D + G7Sy "y +105y"y° je

dy 3, (4

On en conclut, d’après la proposition du n° 22, que le système (14) est équivalent au système (15) RO RO RO = 0 ET; — 0,

aux variables y”, y” y®, y®, y®), y, Pour simplifier, nous remplaçons Y,f—o et Y;f—o par les équations

60 E. LIiNDELÔF.

NET TR «) df 6) f © of m + 4 (Zif- Yi) = ÿ” og TY PH dy at y ao + Ÿ FrOR FM LU t 111 0 1122 0 1. 9 Yaf-y Pf=2y y mt 10ÿ"? 2 5 + BV ®9y "y0 ) Fe

D'ailleurs, comme

(Ps VV) = Vif, on pourra laisser de côté l'équation Y,f—=o. HEn faisant encore, pour éviter les grands coefficients numériques,

— Yi (Dane

le système à intégrer deviendra

of of Of of Of Of L Foy, Foy FH ue Fu Lt LR: 0,

Of LOT Are DUO DE RO a de +2ys OYa 7 SUIS dys +4Y5 0e +5Y6 OYr

G8) a te 2 5

ô de PR À En TT + (8 y3 Y5 —2YoY6 + A Ya SE = 70

Prenons pour nouvelles variables les intégrales

23 = 7%, £a —= — es =%5, 26 A, £ St

Ya Ya Ye Y2 de la première de ces équations; on sera ramené au système

Fi 0 0 (17) #2 +2 22, SL 3 HE +44 50 +5 5L = 0.

6) 0 2 SE +325 + (aa 2) + (82325 — 2e +420) JE

De la première équation on tire sans peine les intégrales 2 Me 4 Ua — a — £3 : Us — 6-4 2325 +0 24-323, Us = 5 — 3 8324 T2 PA Us = 21 — 5 2386 + 104372; 102% 24 + 42 ,

et en considérant, dans les équations suivantes, f comme fonction de %,, 45, U6, 4, elles deviennent

0 0 0 0 zu SE + us 5] Lau HSE = 0;

Of of 2 SL + Gzsu-u) JE + Zaüs + Aus? — 206) =

La seconde équation pouvant être mise sous la forme | of 0 Ô 0 0f af +41 a ÿE+5u ile [se + Guam) JE ]e 0, il suit de la proposition du n° 22 qu'on pourra remplacer les deux équations

précédentes par le système des trois équations

0 0 2uÿl+s us SE + que SE + 5 = 0;

UC DAC (18) FPE PACE = à

Ô x 0 us SE + Que au) =

Introduisons comme variables les intégrales D = Us, = Ug—20), Un = Un — 5 Ua Us de la seconde de ces équations; il restera à intégrer le système