P)S=(L)T-1S, (P)S=(P)TS

S désignant une transformation quelconque de notre groupe. Or, d'après la définition même, les produits TS et TS sont équivalents à certaines des transformations (1). Les égalités précédentes expriment, par conséquent, qu'on peut atteindre tout point de S,, en effectuant sur ?, une certaine transformation du groupe (1), et réciprogement, que tout point transformé de P, au moyen d’une transformation du groupe (1) sera contenu dans l’ensemble S,,. En désignant par S, la multiplicité transformée du point ?:, on peut donc affirmer que les deux multiplicités S,, et S,, se confondent entièrement. Il en résulte, en posant Me ie RE) (STAR)

que les équations Xi = fi (æ: ln, Apr: ay) (à = DH n)

représentent la multiplicité S,, quels que soient les paramètres b,...b..

On dit que le groupe (1) est #ransitif”), si la transformée S, est une multiplicité à » dimensions toutes les fois que le point P ne satisfait pas à certaines conditions particulières. Si, au contraire, le nombre des dimensions de Sr? est inférieur à » quel que soit le point ?, le groupe est dit intransitif. Dans ce cas il existe entre 2,...4,, 21 ...æ, des relations, qu'on obtient en éliminant les paramètres «,...4,. entre les équations (1). Pour que cette élimination soit possible il faut et il suffit que tous les déterminants d'ordre » (c. a. d. contenant #7 éléments), compris dans la matrice

2) Cf. Sopaus Lie, Transformationsgruppen., 1, p. 224. *) Jbid., Chap. 13.

SYSTÈMES COMPLETS ET INVARIANTS DIFFÉRENTIEIS. f

CLEAN AR EE LORS | dt 0@ Ja.

LR df, of | (6) Dada pe ie 04: ; | fn fn dfn MT - | y

soient identiquement nuls. Il est évident, dès lors, qu'un groupe est toujours intransitif lorsque le nombre des variables dépasse celui des paramètres.

Dans ce qui suit, nous admettrons que le groupe (1) est intransitif et que tous les déterminants d'ordre #, #-1, ...,g+1, contenus dans la matrice (6), s’annulent identiquement, mais que, parmi les déterminants d'ordre q, il en existe au moins un qui ne soit pas identiquement nul. Soit

es NPA)

1) teur e ly (ls ==

eh di O(a -:: &y) un tel déterminant et supposons en particulier que D (x1° See FLE di se üy) = 0,

æ,°...aæ, &...a, désignant un système de valeurs pour lesquelles les fonctions (1... f, se comportent d’une façon régulière. En faisant

Li — fi (ti vo Un bi LL b,.),

on pourra limiter une région X (à x dimensions), contenant dans son in-

térieur le point x,°...z,, et une région B (à r dimensions) autour des valeurs &°...a, de manière à satisfaire à la condition suivante: tant que le point

æ...æ, est situé dans la région X et que les valeurs de ,...b, sont comprises das la région P, le déterminant D (x,...:,, a... a,) sera différent de zéro. Dès lors, en désignant par P, (x,...x,), un point quelconque de X, les g pre-

mières équations du système

(7) PE — fé (x; # Un 4x. Qy) (à AE Le n),

lequel, d'après ce que nous avons démontré plus haut, représente la multiplicité S,, pourront être résolues par rapport à @&...4,, tant que les valeurs de 4,...b, resteront comprises dans PB. Koïent

(8) PEN), (t: DRE FN Le .… #4) (2 Of AT 4)

les expressions ainsi obtenues, où l’on à mis 4,41 = @yy1, ., 4, = @. Il sera évidemment possible de choisir les régions À et B de manière à satisfaire

8 E. LINDELOF.

encore aux conditions suivantes: 1:0 les fonctions W,...w, seront holomorphes pour toutes les valeurs de 2,...2,, b,...b., comprises respectivement dans X et PB, tant que le point 2'...x/ se trouve à l’intérieur d’une certaine région X° (à g dimensions); 2:0 dans la même supposition les équations (8) ne donneront que des valeurs &,...a, pour lesquelles les fonctions

fi Ce 0 Dys 0 + Ag» dg+1 *** Gr) (à = q + 1,--.h)

se comportent régulièrement, tant que le point x,...#, ne sortira pas de la région X.

Ces conditions étant remplies, si l’on substitue dans les #—g dernières équations (7) aux 4a,...4, leurs expressions (8), les équations de la multiplicité S, prendront la forme

(9) Lit rt dal Dr er) (i = 1:..n-0Q).

D'autre part la même multiplicité peut évidemment être représentée par les équations

(10) Tati = fi (ri ‘+ En Li **°Gg) (= 1:..n-Q).

On aura donc les relations (11) fi (Œure re, Lio) = li (CR me) he 1...N—Q),

à condition que les valeurs des x, b et à’ seront comprises respectivement dans X, Bet X’ et comme /,...f,, sont des fonctions analytiques de ces variables, il en résulte que les dites relations subsistent identiquement.

Si l'on attribue à x, ...x, des valeurs fixes quelconques «,...«,, apparte-

nant à la région X”, et qu'on fasse li (æ: “ns y) DE (æ +. Æn) (è rl cn),

le résultat précédent pourra être énoncé comme il suit: Les fonctions [E (t ne Un) RER Epas (a É * Ln)

ne changent pas de valeur lorsqu'on effectue sur les variables x,...x, une transformation quelconque du groupe (1).

Elles constituent ainsi des 2nvariants par rapport à ce groupe.

Revenons aux équations (10). Comme ïl ne peut exister aucune relation entre «;...x,, les expressions /...f,, seront indépendantes, considérées comme fonctions de x,...x,. Par suite les invariants U,... U,, seront aussi indépen-

dants entre eux, à moins que les constantes «...«, n'aient pas été choisies

SYSTÈMES COMPLETS ET INVARIANTS DIFFÉRENTIELS. e,

d'une façon toute particulière. D'un autre côté tout invariant du groupe (1) pourra s'exprimer en fonction des invariants U,... U,,. Soit, en effet, ® (x:...x,) un invariant quelconque. On aura identiquement, d’après la définition,

D (fi (x, a)-..fn (x, a)) = 0 (x F2)

et cette identité subsistera évidemment encore lorsqu'on substitue aux 4,...4, des expressions quelconques. Posons en particulier

M = Game) (ro, Ag+1 — Üa+1 FN CO > Ar — y,

les Ÿ et les «a ayant les mêmes significations que plus haut (p. 7). On obtient

Deer) =D (red Di Une), ce qui démontre notre proposition. Le groupe (1) possède, par conséquent, dans les conditions admises relativement à la matrice (6), précisément #-g invariants distincts.

En résumé, on voit qu'étant données les équations finies d'un groupe intransitif, les invariants du groupe s’en déduisent par l'élimination des paramètres *).

Reprenons les équations (9) de la multiplicité S::

Tati = fi (ei En Li Ta) G—=71...n-4).

Si l'on considère cette fois les x comme variables et qu'on substitue aux +’ les coordonnées d’un point quelconque de S,, ces équations représentent une certaine multiplicité, que nous désignerons par S,. Or, on peut démontrer que #, coïncide avec S,. En effet, il résulte d’abord des identités

fi (æ “Un, Li La) = fi (, a)... fn (&, a), &1 +..xq) G=71...n-0) que la seconde de ces multiplicités est toute entière contenue dans la première. D'autre part ces deux multiplicités ont le même nombre (g) de dimensions, puisque f, ET pa sont indépendantes en tant que fonctions de %,...x,. Chacune d'elles étant d’ailleurs définie par un seul système d'équations analytiques, il en résulte qu'elles coïncident identiquement, €. q. f. d.

3. La génération du groupe (1) moyennant les transformations infinitésimales X,f...X,.f conduit à une méthode pour le calcul des invariants, entièrement différente de celle que nous venons d'exposer. Reprenons, en effet, la formule (4')

1) Cf, Sopaus Lie, Transformationsgruppen, I, p. 218.

10 E. LINDELOF.

fees) = fe) + D A Xe PH D de D Xe (XP) + ee k k,3

Pour qu'une fonction f reste invariante pour toutes les transformations (1), il faut, d'après cette formule, qu'on ait identiquement

(12) Se 0 ee De Te

Cette condition est d'ailleurs suffisante, car en la supposant réalisée, l'égalité précédente se réduit à FC sm) = fa) Donc tout invariant du groupe (1) est une intégrale du système linéaire (12) et, réciprogement, toute Intégrale commune des équations (12) est un invariant du oroupe (1).

Considérons la matrice

en (x TE) se S (rs + Tn)

(13) | cn | |»

| TPS (x: rs) NE 3e (x: LE An) |

formée par les coefficients des équations (12). Si tous les déterminants d'ordre n de cette matrice ne s'annulent pas identiquement, les équations (12) seront linéairement indépendantes. Supposant, au contraire, que tous les déterminants d'ordre 7, #-1,...,q+1 disparaissent identiquement, mais qu'il y ait, parmi les déterminants d'ordre g, au moins un qui soit différent de zéro, les expressions X,f... X,f seront toutes des fonctions linéaires de y d’entre elles. En désignant

ces dernières par X,.f, ..., X,,f, il en résulte que le système (12) pourra être remplacé par le suivant (14) Xw f = 0, Àr, f = 0, SAM EN » Av f = 0.

D'autre part on voit, en se reportant aux équations (5), qu'il existe entre les expressions X, f...X,,f des relations de la forme

q (5) XX) = An (An) = D pme) Auf Greg).

TR On appelle système complet tout système d'équations linéaires indépendantes qui vérifient des relations de la forme (15). On pourra donc énoncer la proposition suivante :

Les transformations infinitésimales d'un groupe étant données, le calcul des invariants du groupe revient à l'intégration d'un système complet \).

1) Cf. Soprus Lie, Transformationsgruppen, p. 97.

SYSTÈMES COMPLETS ET INVARIANTS DIFFÉRENTIEIS. 11

Dans le troisième chapitre nous aurons à étudier en détail les systèmes complets. Ici nous ne ferons que remarquer, en passant, que tout système complet de g équations à # variables admet #-4 intégrales indépendantes et que le groupe considéré possède, par conséquent, dans les conditions admises relativement à la matrice (13), #-q invariants distincts.

4. Nous avons supposé que. tous les déterminants d'ordre 4 contenus dans la matrice (6) ne s’annulent pas identiquement. Cependant il peut bien exister des valeurs %,...x, pour lesquelles ces déterminants s'évanouissent quels que soient a,...a.. Désignons par 9, l'ensemble des points correspondants à ces valeurs %,...4, et, d'une manière analogue, par ©, l’ensemble des points pour lesquels les déterminants d'ordre » de la matrice (6) disparaissent quels que soient a...a. Nous sommes ainsi amenés à considérer une suite de multiplicités, 9,, 4,,.....…., dont chacune est évidemment comprise dans celle qui la précède. Quelques-unes d’entre elles peuvent se composer de multiplicités séparées où même de points isolés. Nous désignerons, d’une manière générale, par M,, M,,,... les multiplicités partielles analytiquement indécomposables qui constituent @,.

Cela posé, soit x,°...x," un point quelconque de @, et posons

x 2 TOUT b, ...b,) (= I ….n); on aura, d'après la propriété fondamentale des groupes, fi@ Ur CA *.. y) = EN ÉTAT ER ea v….Cy) (4 =ÛT ….h),

C,...c@. étant des fonctions de a...a,, b,...b.. On en tire, en faisant usage d'un théorème bien connu sur les déterminants fonctionnels ?),

2,0... &) > 0 Gi, (&°, 0) ++. fi, (a, o) JC.) 0 (a, TC a;,) ru 0 (Cr UD Cp) Ô) (a; “x dj)

k-..ky

des paramètres 0,...0,. Aïnsi, quelle que soit la transformation du groupe (1) effectuée sur un point arbitraire de @,, ce point ne sortira pas des limites de cette multiplicité. ©, est, par suite, une multiplicité invariante relativement au groupe proposé. En se rappelant la mode de génération du groupe (1) au moyen de transformations infinitésimales, on en conclut que chacune des multi-

plicités M,, constitue séparément une multiplicité invariante ?).

1) JacoBr, De Determinantibus functionalibus, Crelle’s journal, Bd, 22, p. 340. 2) Sopnus Lie, Transformationsgruppen, 1, p. 231.

12 E. LINDELÔF.

Pour a,=a,, ...,a,=a,", la matrice (6) se réduit à (13). Dès lors, en désignant par ©, l'ensemble des points pour lesquels tous les déterminants d'ordre p de cette dernière matrice s’annulent, on peut affirmer que tout point de 9,

est contenu dans ©,. La proposition inverse à également lieu. Pour le démontrer, considérons l’un quelconque des déterminants d'ordre p de la matrice (6), soit

Oran) D net).

En vertu des équations (2) on à

| Ÿ Wii (a) & j1 (x 7) < : Ÿ Y; (a) Het x) j=1 La | Lie | | pi | | > Vin (a) Es (x) M: > V;, (à) Er (x) | D==1 j=1

ou bien, en développant !),

la somme s'étendant à toutes les combinaisons distinctes »,...r», des nombres 1, 2...7. Comme on obtient des expressions analogues pour É autres déterminants d'ordre p de la matrice (6), on voit que tous ces déterminants s’annulent en même temps que les déterminants d'ordre p de la matrice

| + (x Sir tn) : ; En ÉTÉ nn tn) | | 3,4 (æ ue Lai) ‘ c cn (21 DAT 2) |

Or, ceux-ci s'expriment, d’après M. Tue”), en fonctions linéaires des déterminants d'ordre p de la matrice (13). Il en résulte que tout point de 9, rentre dans la multiplicité 4,, comme nous l’avions avancé. Donc ces deux multiplicités sont identiques et, par suite, la multiplicité Q, peut être définie par les équations qu'on obtient en égalant à zéro tous les déterminants d'ordre » de la matrice (13).

1 JAcoBr, De formalione et proprietatibus Delerminantium, Crelles journal, Bd. 22, p. 312. =) Transformationsgruppen, I, p. 241.

D =) fr)