DÉCRET

un des déterminants d'ordre p-1 qui ne s'’annulent pas identiquement dans ce point. Autour de ?, on peut limiter une région X (à » dimensions), telle que D,, ne s'évanouisse identiquement pour aucun point situé dans son intérieur. Cela posé, en résolvant les p—1 premières équations

di = fifi -%n Gr) (ir)

par rapport à @,...4a,, et substituant les expressions obtenues dans les autres, on aura

(16) dote = lon (Ur PP CUS ho LH8QE VIH) (D = 1...n-p+1).

Les seconds membres contiennent encore quelques-uns des paramètres «,...4,, mais on sait que ceux-ci disparaissent dès qu'on substitue aux æ les coordonnées d'un point ? de @, contenu dans la région X. Pour tout point P? qui satisfait à cette condition, les équations (16) fourniront, par conséquent, la multiplicité correspondante #,. D'autre part cette même multiplicité pourra être représentée par les équations

Botte — fev (1 0): fn (x, D), &1 **-% 1, d,::-0,) (= "n-p+1),

les à désignant des paramètres arbitraires. D'après cela, en posant A CRU: Del laure: Ur) Up (Et Un) (PT n—p+1),

après avoir égalé les x et les «a à des constantes convenables, on arrive, par un raisonnement analogue à celui par lequel nous avons établi les invariants du groupe (n° 2), à cette conclusion qu'on à

Cofetrbht-f (ec b)= Un (1: 2) (v = 1:..n-p+1)

pour chacune des multiplicités 4Z,, qui ne sont pas contenues dans 9, ;. Soit 17, une de ces. multiplicités et supposons qu'elle soit définie par les équations

Loris (ds: -: da) (= 1.-..n—s), Chaque point de H,, se trouve ainsi lié à un certain point de l'espace à s dimensions æ,...#,, en sorte qu'à toute transformation effectuée sur les points de

M,,, correspond une certaine transformation effectuée sur les points de cet

espace. Or, d'après ce que nous avons vu plus haut, le groupe général (1) transforme entre eux les points de 47

PV1 ?

et comme toutes ces transformations

14 E. LINDELOF.

constituent un groupe à part, on conclut qu'il en est de même des transformations correspondantes dans l’espace :, . .x,, lesquelles sont définies par les équations

(17) ZX; = hi Cr es Pie DR, CREED) = 1:..8).

Ce dernier groupe est engendré par les transformations infinitésimales

RDS: 0 0 Xi f = Ba Ge as que qu) GE + Sos HE (ei ces Pa eee Qu) DE LT 1:..#),

qui cependant ne sont pas nécessairement toutes indépendantes ”).

D'après ce que nous avons démontré plus haut, les fonctions U,, (x,...+, ne changent pas de valeur lorsque, en désignant par x,...x, les coordonnées d'un point quelconque de M,,,, on effectue sur ce point une transformation arbitraire du groupe (1). Il s'ensuit que les fonctions

Upy (di "Les Ga ++: Pn-s) (= 1...n-p+1)

sont des invariants du groupe (17) et qu'on peut les obtenir, par conséquent, d'après le n° 3, en intégrant le système linéaire

: NEED Xe d12 X-f= 0.

6. Nous pouvons maintenant aborder le problème général de trouver toutes les multiplicités invariantes relativement au groupe donné. Nous en avons déjà rencontré quelques-unes, à savoir celles que nous avons désignées par 9,, 9, etc, ainsi que les multiplicités S,, définies dans le n° 2. On obtiendra évidemment d'autres multiplicités invariantes en associant les 8, suivant une loi arbitraire. Réciproquement on peut envisager toute multiplicité invariante comme étant composée d’une suite de multiplicités S,. En effet, si cette multiplicité enferme le point P, elle enfermera, d’après la définition même des multiplicités invariantes, tout point où ? peut être transporté par les transformations du groupe (1), €. a. d. qu'elle contiendra la multiplicité S,.

Soit 7° une multiplicité invariante définie par les équations

F, (x: % Th) — 0, AR Ps ; Fu (a DL IC Xn) es 0,

F,...Fx désignant des fonctions analytiques, et supposons d'abord que 7 ne soit pas contenue dans 2,. Nous allons démontrer que Ÿ peut être définie, dans ce cas, au moyen de relations entre les invariants du groupe (1). Soit, en effet,

NERO D (x, 0 Une Un «.. y) = Tes

7) Cf. Sopaus Lie, Transformationsgruppen, 1, p. 233.

SYSTÈMES COMPLETS ET INVARIANTS DIFFÉRENTIEIS, 15

un des déterminants d'ordre g qui ne s’annulent pas identiquement dans tous les points de 7, et admettons, en particulier, que

D (1° à An), di Eu üy) + 0;

2.…aæ, désignant un point de T'et &,...a, des constantes quelconques. On pourra alors limiter, autour du point 2,°...x,, une région À de la multiplicité

T, telle que pour tout point P, (x,...x,), contenu dans cette région LL Ti Gi: va) 0.

Les équations de la multiplicité S, qui correspond à un quelconque de ces points, peuvent être mises, d'après le n° 2, sous la forme

(18) Bo hle mi e Ty) (= 1...n-Q).

En égalant x...) à des constantes convenables «,...«,, ces équations feront correspondre à tout point de la région À un point &...@,, 4/,,...4), contenu dans la multiplicité

(19) Feu ee Gp yeree mi) = 0 (= r..#),

intersection de 7 avec la multiplicité æ, =a,...,#,=a«,. D'après la remarque faite à la fin du n° 2 on voit alors que la multiplicité $, pourra être représentée aussi par les équations

De a CU dun di 251 de) (i = 1..n—Q),

æ,...æ, étant regardées comme variables.

Cela posé, considérons la multiplicité 7: définie par les équations

(20) Fi ..a, fi (di + Æn, M ++) MAÉ fa (3 **:Œns M +: &g)) = 0 (e = 1:..{u).

Comme elle se compose de multiplicités S, issues des divers points de (19), elle sera évidemment toute entière contenue dans 7. D'autre part les multiplicités T'et 7, se confondent dans la région À. Donc, puisqu'elles sont définies l’une et l'autre par des équations analytiques, elles doivent se confondre identiquement, et les équations (20) représentent, par suite, aussi la multiplicité 7. Les fonctions f,(&,...æ,, &...«,) étant des invariants, d'après le n° 2, nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant !):

Toute multiplicité invariante qui n'est pas contenue dans Q, peut être défine par des relations entre les invariants du groupe.

1) Cf. Sopnus Lie, Transformalionsgruppen, 1, p. 123.

16 E. LINDELÔF.

Il est évident d'ailleurs que tout système de relations entre les invariants définit une multiplicité invariante.

Le cas où la multiplicité invariante proposée est contenue toute entière dans une des multiplicités ©,, Q,,... se traite d’une manière analogue. En se servant des notations et des résultats du n° 5 on parvient au théorème que voici ‘):

Toute multiplicité invariante qui est contenue dans ©, sans être comprise dans Q,1, peut être oblenue en ajoutant aux équations qui définissent une des multiplicités M, des relations convenables entre les fonctions U,; (&,...,)....… U,n-pr1 C:-%).