GROUPES PROLONGÉS. INVARIANTS DIFFÉRENTIELS

7. Etant donné un groupe continu, on peut en déduire, de différentes manières, d'autres groupes ayant le même nombre de paramètres que le groupe primitif, mais un plus grand nombre de variables.

Considérons par exemple le groupe (1) p. 3 et écrivons les équations qui le définissent w fois de suite, en nous servant de « systèmes différents de variables. Les équations ainsi obtenues

(1) Lyi = fi (Ent ++" Lyn A * +" Qr) G=1...n,v=1:...) formeront évidemment un groupe à r paramètres, lequel sera engendré par les r transformations infinitésimales *) At Re Re + Aka [ (= 1.7), Ê of ou XY NS Ly1''"X .

V J ( V1 yn) D

Si l'on choisit & de manière que #u>r, le nombre des variables du groupe (1) dépassera celui des paramètres et l’on pourra affirmer, d'après le n° 2, que le groupe possède des invariants. Aïnsi par exemple le groupe formé par les 1) Cf. Sopnus Lie, Theorie der Transformationsgruppen, 1, p. 237.

?) Ibid, p, 219. Voir aussi: W. KiILziNG, Ærweiterung des Begriffes der Invarianten von Transformationsgruppen, Mathematische Annalen, Bd. XXXV, p. 423—432.

transformations des coordonnées admet pour invariant la distance de deux points.

8. On obtient d’autres groupes en regardant, dans les équations du groupe (1) p. 3, certaines variables comme des fonctions des autres ‘). Pour mieux mettre en évidence ces deux espèces de variables, nous écrivons les équations dont

il s’agit, sous la forme

(2) fai = pannes ace) G=r..m), = Ge anne mai a) ξrep)

en désignant par 2,...2, les variables qui restent arbitraires, et par 2,...4, (in +p=n) les variables qu'on fait dépendre de celles-ci.

Cela posé, nous définissons, suivant l'exemple de M. Tresse *), les z en fonction des x par leurs développements en séries au voisinage d'un point

arbitraire +,°...x,. En posant, pour abréger,

1 Fe + .. ca A 3 ; mi PO Ua rl! Lx" + OX "] x = 2° one

ces développements deviennent

(3) 229 es » 25, rite ee (—-2,0)" LÉ: (22,0) (à EXT p) :

Pie Tyn

D'autre part on trouve, en développant les #’ et z suivant les puissances de Didi, Ey-8

ES + > Qi, mr... Fins Qi... 0p (æ;-2°) ae (tn Zn?) (1-2 à ei PL (22-290) p

(4) | | Zn 8x 0 — D: b;, Fins Ty? 9, TE Q» (x —2:°) # CE (LL) 7m (2 — #1 0] Le MEES Zp—2p0) Cp

les 4° et 2° étant déterminés par les équations

M0 = pif -..2n0,20...2,0, Qi +. ar) G=1:..m), 80 = Yg (En + Lan, 210.» 290, On * * « Or) (Rp),

Afin d'obtenir les relations entre les à” et z qui correspondent aux relations établies entre les æ et 2, ou, en d’autres termes, pour avoir la multiplicité dérivée de (3) au moyen de la transformation (2), nous substituons dans les équations (4) aux 4-4°,...,2,-2,° leurs expressions (3). Il vient

1) Cf. Sopaus Lie, Theorie der Transformationsgruppen, X, Chap. 25.

?) A. Tresse, Sur les développements canoniques en séries, dont les coefficients sont les invariants différentiels d'un groupe continu. Comptes rendus de l’Académie des Sciences, séance du 30 mai 1892,

18 E. LINDELÔF,

(5) mia = (ad, ntm) à (in re..m), 8x —2x9 = (Gi—20, :.., Ann) (VESTE « D), où les @ et 4 désignent des séries procédant suivant les puissances entières

positives de 2-7,°,...,2,-x,. — En se servant de la notation