ER MORIN

(10) D = qua en, pee Gre6) (GS tem), 25 — Yy (æ; tn, 83°" Ep Ci «+:@r) (K D);

où €,...c, désignent certaines fonctions de @,...4,,0,...b.. On doit donc parvenir directement à la multiplicité (9) en effectuant la transformation (10) sur la multiplicité (3). Les développements ainsi obtenus auront pour coefficients

| ae EU ï c 0 »,0 »0 8, PONT (CE Ge, mi, Zn 2,

. à y de > Van Vi. Um

et comme ils doivent coïncider avec les développements (0), il faut qu'on ait identiquement, pour toutes les valeurs des indices 7,...9

im?

20 E. LINDELÜF.

F4 AO ID ED d EU 0 ti TricoTm (b br, 2j y 8k 7 DEN DE 1 2 LE F;, TAPER (c Cr, Aj ,2k; 2 Mise uy ).

[I] en résulte que les équations

Li 0 — (TE (rit D Lo. 21° El PA UP .:.Qy) (2 =# “h),

(11) KA = YO np 410 6003 M Ur) (k = 1:..p), Sn 0 my ei) 7.0 » 0 ' 2 Ê n IT 9 Meet = Le, Prison (a; ‘rs À; 28°, TOME) (s = LP D Vi ++, Zv),

où » désigne un nombre entier quelconque, définissent un groupe à > paramètres. Donc:

Les équations qui déterminent les dérivées des # par rapport aux x! jusqu'à l'ordre » inclusivement en fonction des a, x, z et des dérivées des z par rapport aux x, définissent avec les équations (2) un groupe à r paramètres. On Jui à donné le nom de groupe prolongé d'ordre » du groupe (2).

Aïnsi, en divisant, d'une manière quelconque, les variables d'un groupe continu à 7 paramètres en deux classes et considérant les variables de l’une de ces classes comme des fonctions de celles de l'autre, on est conduit à une suite indéfinie de groupes prolongés, dont chacun est également à 7 paramètres, tandis que le nombre des variables va toujours en croissant avec l'ordre » du groupe. Comme la classificaton des variables peut s'effectuer de différentes manières, il existe plusieurs séries distinctes de groupes prolongés, dont on peut encore augmenter la variété en ajoutant aux variables primitives un nombre arbitraire de nouvelles variables qui ne sont pas affectées par les transforma-

tions du groupe donné ‘).

9. Si dans les développements (6) on donne aux paramètres 4,... a, les valeurs @°...a!, auxquelles correspond la transformation identique du groupe (2), on retombe évidemment sur les développements (3), d'où il suit que, par la substitution des mêmes valeurs, chacun des groupes prolongés se réduit égale-

ment à une transformation identique. On voit dès lors que toute transforma-

ps +ÿa

tion infinitésimale

du groupe (2) donne lieu à une transformation infinitésimale bien déterminée de chacun des groupes prolongés. Soit X°7/f celle du groupe prolongé d'ordre r.

En posant, pour simplifier,

1) Cf. Sopaus Lie, Transformalionsgruppen, 1, p. 548.

X°f aura la forme v 4

x0)/ ve > | ÿ Le : : of Ê — X kg ONE 70 Op, Fin srl =]

laquelle nous amène à définir X%f comme la transformation infinitésimale » fois prolongée de Xf. Il s'agit de déterminer les &,,,..,,:

Désignons, d’une manière générale, par ôg l'accroissement d'une expression quelconque y, dû à la transformation infinitésimale X)f, On aura, en entendant par dé un infiniment petit,

— orme 0,

0x; = Ë; Ôt, O2 =NCR ON, dPr, DISE

les accroissements dx, 02, dp étant évidemment liés entre eux par les relations

(1 2) 9 (aps, Prison = Pr, Eli du RP mn Pirelli mt da) nt (& = Mens Hess + Mn = 0:..9—1),

où on aura à mettre 2, à la place de p,,.... En observant que l'ordre des

. \ x . . re d sus ,

signes d et à peut être interverti et en désignant par ce la dérivée totale par È

rapport à «,, ces relations deviennent

NV (IX SP ESRE dé, L dm t Be td ds de Ti knthr.. Un dx: FN EUX l CENTS E Fini dx; NE LES NE RE OO; SL

(re 1 po pp 1 on Ces 1 one)

Comme les variables x,...x, sont indépendantes entre elles, il faut que les coefficients de dx,...dx, s'’annulent séparément. Au moyen des équations ainsi obtenues on pourra déterminer successivement les inconnues Er LI, CTeE en supposant quon ait déjà calculé les quantités &, .…r, lelatives aux dérivées jusqu'à l'ordre w inclusivement, les équations dont il s’agit nous fournissent, pour les quantités &.,,., relatives aux dérivées d'ordre u+1, les expressions

E " dÉr, HE NRA p dé S D p dE DR A Tee lon da, DL PEN On dx, ire KE, 14e pl intl dx, 7 SA he DE ë 1 1!

rs Le te tre)" : AE dE dE, 'e a, Û m ? HAE 23 — p —— ° Cr A EN lei, CAE où Mon dt, rit 1, ln De KE, Pre pt mt dly

Il est vrai qu'on obtient de cette manière pour certaines inconnues plusieurs expressions différentes, mais il est facile de voir que celles-ci ne sont distinctes

22 E. LINDELOF.

qu'en apparence et qu'on pourra les réduire l’une à l’autre ‘). En résumé, on peut affirmer que les relations (12) déterminent les coefficients de X(f d'une manière univoque.

jela posé, soient X,f...X,f r transformations infinitésimales indépendantes du groupe (2), liées par les relations

; (13) Xi (Arf) = Xe (XF) = À Ou Xf Gh=rr)

s=1l et désignons par À,°7f... XF les transformations infinitésimales obtenues en prolongeant » fois les X7f. Il résulte des recherches de M. Lie *) qu'on peut envisager le groupe prolongé d'ordre r du groupe (2) comme étant engendré par les transformations X,)f...X/{"f, lesquelles, par conséquent, doivent satisfaire à des relations de la forme

X{r) (XX) hi X (XF) pri D fe X (:, k =: cr),

é—=1 les Cx, désignant des constantes. D'autre part on trouve, eu égard à la forme des X°) (voir p. 21),

; = ùf XP (XP) — XD (XP) = Xi (XF) = Xx (Xi) + > rien - Vi Ty

La comparaison de ces deux expressions donne, en regardant / comme fonction des seules variables x et 2,