C- — M. m rfO • « ■•Art

un tel système; je supposerai que les ^|;/ sont des fonctions rationnelles de fleurs arguments.

Si, dans ces équations, je considère les dérivées d'ordre p comme des variables indépendantes, elles sont résolubles par rapport à F^ — i de ces dérivées; la formation de déterminants fonctionnels permettra d'ailleurs de reconnaître quelles sont les dérivées jouissant de cette propriété, et, par suite, quelle dérivée figurera dans les seconds

membres. Soit

20 J. BEUDON.

cette dérivée ; on peut toujours choisir les notations de façon que

enfin, j'envisage aussi les dérivées

Je puis préparer le système donné, par voie d'élimination, de façon que 71 — I de ses équations aient la forme

(l6) O ■= Vi(Xi, . . . , X„, «, Z , . . . , ZiP~ y Za,4.i...a^i, . . . , Z5, ...a,,-»-ia»-i« Z5,...a,)>

Cela posé, il est facile de montrer que, par un procédé analogue au changement de variables employé par Gauchy pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre, on peut ramener l'intégration de notre système à l'étude d'équations différentielles ordinaires. Substituons, en effet, aux variables

les variables

le choix de cette nouvelle variable y devant être précisé plus loin.

Les formules bien connues du changement de variables nous donnent

d'où les conditions d'intégrabilité

dy âxi ôy Oy dxi

Différentions les équations (i6) par rapport à y\ nous obtiendrons,

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 21

en tenant compte de (17), (18) et (19), (ao) o - ^ ^ + V ^' 7*+. , àx„

^dZS,,...oLi^i...a.^i àxj dy -^<?ZS....a,+i. ..«„-! dy dooj / = 1 / = 1

^ d^t <^ZS......

<?Z5...... ày '

m ' ^— ly^y ■•■y /t ' I •

Je choisis maintenant la nouvelle variable y de façon que Ton ait

d7'' dans les équations (20) le terme en "'<■■"' disparaît; et, par suite.

Grâce à nos hypothèses, le déterminant des ^-^> dans les équations

(21), qui est le déterminant des J" '"" > dans les équations (22), ne

sera pas identiquement nul; il en sera de même pour le déterminant

(?Z6 B des ^* "^% dans les équations provenant des T^ — n équations du

système proposé, différentes des équations (16), différentiées successivement par rapport à a?,, a^a, . . ., ^«-«.

Si donc nous considérons x^^ z,Z\ ., ,, Z^"*, Z^ comme des fonctions distinctes de a?^ ...,a?„,, elles sont définies par un système différentiel tel qu'on connaît toutes les dérivées du premier ordre des fonctions inconnues au moyen de ces fonctions et des variables indépendantes.

22 J. BEUDON.

On pourrait, par un calcul direct, montrer que ce nouveau système est passif si le système proposé jouit de cette propriété; nous donnerons seulement, dans la troisième Partie (n® 19), une démonstration en quelque sorte géométrique de ce fait.

Je rappelle le procédé qui permet d'intégrer un pareil système.

Pour trouver les intégrales u^.u^, . . . , m,„ du système

{a) —±=fif, (/ = !, 2, .. ., m; A: = i, a, . . . , /i)

OXk

qui, pour a?, =a?î, ..., a:„ = a7® se réduisent, respectivement, à "î» •• ' "m» ^^ procédera de la façon suivante: on effectuera, d*abord, le changement de variables

ar, = ^;-f-y„ ..., xtc--= x^^ y^yk ( A: r:^ 2, 3, . . ., /i)

dans le système {a). On remplacera ainsi ce système par un nouveau système

et aux intégrales précédentes du système (a) correspondront des intégrales du système (b) qui, pour y^ = o, se réduiront, respectivement, à w^, Mj, .. ., M^„, quelles que soient les valeurs deja, . . . . j». On considère alors le système d'équations différentielles ordinaires

déduit du système (b), en prenant les équations de ce système pour lesquelles A = i, et Ton obtient les intégrales cherchées du système (è) en déterminant les intégrales du système (c), où l'on considère y^, J's» •••» Xm comme des paramètres arbitraires, qui, pourj^ = o,se réduisent respectivement aux constantes données u% . . . , m^.

10. En appliquant cette méthode au système que nous avons obtenu, on aura

Xfi r— : y L ^l> • • • > "^/i— 1» *^i> • • • > X„f Z , • ■ » (-3") J,

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUÂTIOiNS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 23

les valeurs initiales

O/j, •••> >^nf "** 9 •••> K'" )

sont des fonctions dey définies par les relations (i8) et transformant en identités les équations (i5).

Nous allons voir que, si l'on choisit pour a?*, ..., a?® j des constantes numériques quelconques, si l'on pose

(<p et ^ étant des fonctions arbitraires de leur argument), et si Ton détermine les valeurs des (Zj^ ^Jo» de façon que l'on ait

les valeurs de a?;,, a, Zj^. x» tirées des formules (23) vérifient les relations (*) (i8).

Considérons, en effet, les expressions

nous aurons

dxi~ dxiôy ~dxi dy '^"'•'''^'Oxiây

mais, à cause des relations (17)» on a aussi

V'?/ ÔX^~' ~^^« ••^•■^*- •^« -i-^),...X„4.1 ^^>

en différentiant cette relation par rapport ky, on obtient où (3^) est donné par les équations (21).

(^) Il esl presque inutile do dire qu'aux conditions (24) on doit adjoindre les relations

Ujc',,'',^?nZMZt..iy]=0 (i = I,2, ...,rS-l).

2\ J. BEUDON.

Ces formules (25) sont valables pour k = i^ 2, . . . ,p — 2. Considérons maintenant les expressions

et supposons (ce qui ne diminue en rien la généralité) que les équations proposées (i5) aient été résolues par rapport à F^— i dérivées d'ordre p.

Soit, d'une façon générale,

les conditions d'intégrabilité étant satisfaites, on a, sur chaque multiplicité intégrale

^g. -p. ^ V^ifi:rP2 7*^i , ^^g....p»...p.

Des équations (26) on tire

dxj dy dxj dy ^ dy dxj

On a, d'ailleurs, et

<?a7y dx

.Xn-Kt . V ^^A....X,-H /yA+i . 7A+I ^\

^ZS^...«^ (^a?y dXn dXj

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 25

Remplaçons ces valeurs dans (28), en tenant compte des relations (27), nous obtiendrons

En rapprochant les équations (i5), (17), (21), (22), (25), (29), on voit que les expressions U* ^^^ sont données par un système d'équations linéaires et homogènes qui permettent de les développer en séries entières par rapport k x^ — x% . . . , x„^^ — œl^ ; il en résulte que si les Uj, ^^ sont nuls pour les valeurs initiales, ils sont nuls pour toute valeur de x^, ...,iC;,,, ainsi que nous l'avions annoncé.

11. Je considère les formules (23); les deux premières représentent une multiplicité ponctuelle à n — i dimensions (m«,), et les autres font correspondre un élément E'' à chacun des points de cette multiplicité. D'autre part, parmi les équations différentielles qui définissent nos formules, nous remarquons les suivantes :

qui expriment que les deux éléments E^ correspondant a deux points infiniment voisins de m^-i sont unis. Les formules (28) définissent donc une famille de multiplicités M^^ (voir n^ 3), que j'appellerai les multiplicités caractéristiques du système proposé.

Les équations (24), qui définissent les constantes a?" ^«» «%

(Z)^^i^yen fonction de 7, représentent une multiplicité M^ ayant pour support la courbe

et la multiplicité intégrale est le lieu des multiplicités caractéristiques issues des différents éléments E^ de cette multiplicité Mf .

Nous avons vu, d'ailleurs, qu'une transformation ponctuelle ne

changeait aucune de ces propriétés; nous pouvons donc définir de la

façon suivante l'intégrale générale du système proposé : On considère

une courbe (multiplicité à i dimension) quelconque, et l'on cherche

JL B. 4

une multiplicité M^ ayant cette courbe pour support et vérifiant le système proposé; le lieu des multiplicités caractéristiques issues des divers éléments E^ de Mf est une multiplicité intégrale m^. Comment obtenir cette multiplicité Mf ? Soient

les équations du support; on a à intégrer le système

, ^^^ A{ . . • Ai~*"i - • • An // //

Quelques-unes des fonctions inconnues ne seront pas affectées de constantes d'intégration.

En effet, l'équation en ^ livre une relation linéaire entre les dérivées du premier ordre Z* ; si l'on différentie cette relation par rapport à Uf en tenant compte des équations en -^^ on obtient une relation

linéaire par rapport à Z* et Z*; en procédant ainsi de proche en proche, on arrivera finalement à une relation linéaire en Z*,Z*, ...,Z''; cette relation, associée aux F,^ — i équations données, donnera tous les Z^ en fonction des Z^, où q </?.

Le nombre des constantes arbitraires qui entrent dans les formules définissant la multiplicité Mf cherchée est donc

il y a donc qo^«+«""'' multiplicités intégrales m^ passant par une courbe donnée.

12. 11 résulte de ce qui précède que, par une multiplicité caractéristique passent une infinité de multiplicités intégrales m^; à chacune de ces multiplicités correspond, sur le support de la multiplicité caractéristique, une orientation des Z^^*, Z^^^, H est facile, comme

on va le voir, d'obtenir directement l'ensemble de ces orientations.

En effet, si nous différentions les équations du système proposé par

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 27

rapport àa?<, ..., x^ successivement, nous obtiendrons, comme nous l'avons vu au n^ 7, Tf^^* — i équations distinctes d'ordre p -h i; nous allons traiter ces nouvelles équations de la même manière que les équations primitives.

Envisageons les n — i équations (i6) et différentions-les par rapport à x^; nous aurons

fl — Al • • • An

"^ 7PÏP ZSj*'.î.a.H-i...art -H. . .4- -vr*,, ^ai,...an+i

Ces équations sont certainement distinctes.

En appliquant les formules (21) et (22) à ce nouveau système, nous aurons

<^Zg. . . . «„ ^ C^Zg, . . . ay+1. . . a^-l t?-3?y

(82) 0=: une fonction de a?!, . . .,a^af ^>ZS . . ., Z^^^

On aura de plus

Si Ton effectue la somme

<?ZS,...a,+i...a„-i <?^y y=i '

en tenant compte de (3o) et(3i), on retrouve justement la rela tion (22).

Comme on devait s'y attendre, nous retrouvons les mêmes caracté-

28 J. BEUDON.

ristiques jusqu'à Tordre ^, rorientalion des Z'^* étant donnée par les formules (32) et les Fj^* -— i équations d'ordre/? -+- 1.

Il est manifeste qu'on pourra poursuivre le calcul de proche en proche et atteindre tel ordre que Ton voudra.

Il résulte immédiatement des calculs précédents que, si deux multiplicités intégrales m„ ont en commun un élément W (/>' =/^), elles auront aussi en commun tous les éléments d'ordre p' correspondant aux différents points du support de la multiplicité caractéristique passant par É'*'.

13. Les formules (23) nous montrent que, par tout élément E^"* passe une famille de multiplicités caractéristiques dépendant d'un paramètre arbitraire; toutes ces caractéristiques engendrent une multiplicité intégrale /w^j, car on satisfait évidemment aux conditions (24) en prenant pour x\, . . ., a;°, . . ., (Z^"*)o des constantes. Cette multiplicité m^ est une intégrale complète dépendant de T^~^\ -i- i constantes arbitraires.

Si l'on connaît a priori une intégrale complète, le problème de l'intégration du système proposé se réduit à la recherche des multiplicités intégrales Mf .

Supposons, en effet, qu'on ait déterminé une multiplicité de ce genre; a?<, ..., x^, s, Z\ ..., Z'' sont des fonctions connues d'une seule variable u.

Soit, d'autre part,

l'intégrale complète; on déterminera les X en fonction de u de façon que, si Ton fait varier w, l'intégrale complète passe, successivement par les différents éléments E^ de Mf ; il résulte alors des théorèmes établis plus haut qu'on aura la multiplicité intégrale m^ passant par Mf en cherchant l'enveloppe de l'intégrale complète, c'est-à-dire en éliminant u entre les deux équations

14. Considérons, en particulier, le cas de deux équations du second ordre à deux variables indépendantes.

Sun LES SYSTÈMES d'ëQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 29

Soient

ces deux équations. Pour qu'elles aient une solution commune dépendant d'une fonction arbitraire, il faut que l'on ait identiquement

Les formules du changement de variables de Cauchy sont ici

àz dy

d'où Ton déduit

ày

dq dx

dz du

dy Uu'

" du

dp du

dq dy ~ dx du

' àq dy ! du dx

dr ds dy ds dy

du dx du du dx '

ds dt dy dt dy

{du dx du du dx

Différentiant la première des équations (33) par rapport à u, on

J. BEUDON.

aura, en tenant compte de (36), (37) et (38),

à/ Ts'

dl df dl df

dy dz ^ dp dq

Les caractéristiques sont donc définies par les équations différen tielles suivantes :

dz dx

dp dx

dq dx

ds dx

àf

(?9 Ts

s — cp

àS'

àf àf àf

ôy dz ' dp

<7<p \OX OS

EL àq'^

^1 f 'dp-'

La solution générale

= Z (d7, X^y yQf ZQypQ, qQ, Sq

renferme cinq constantes arbitraires.

Les deux premières équations représentent une courbe; les deux suivantes, une orientation de plans tangents a cette courbe; on peut interpréter géométriquement les formules qui définissent r, s, t en

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 3l

disant qu'elles représentent une orientation de calottes infiniment petites de surfaces du second degré ayant pour plans tangents les plans définis par les deux formules qui donnent/? et q.

Deux éléments infiniment voisins sont unis; il en résulte que les deux calottes correspondantes sont tangentes.

En effet, l'équation de la calotte correspondant à x\ y, z\ p\ q\ r', s\ t\

pour x' + dx\ y -h dy, z' -hdz', p — dp\ q' -^dq\ r'-i- dr', s' -h ds\ /'-f- di\ on a, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur et en tenant compte de

dz' = p' dx' 4- q' dy\ dp' =1 r' dx' 4- s' dy\ dq' — s' dx' -f- 1' dy'y

L[dr'{x — x'Y-^ 2ds'{x — x'){y — /) 4- dl'{y—yY']',

on voit alors immédiatement que les deux calottes sont tangentes; leur intersection a un point double dont les tangentes sont données par

dr' {x — x'Y -¥ '3i d$' {x — x'){y — y') -^ dt' {y — yy = o.

11 résulte de nos théorèmes généraux que, si une surface intégrale a un contact du second ordre avec un de ces éléments de quadriques, les autres éléments de quadriques appartenant à la caractéristique correspondante jouissent de la même propriété.

Si l'on se donne un élément E', c'est-à-dire un point et un plan P passant par ce point, il y a une infinité de courbes caractéristiques tangentes au plan P en 0; ces caractéristiques, dépendant d'un paramètre arbitraire, engendrent une surface qui est une intégrale de notre système. Soit

Téquation de cette surface ; en donnant à x^ une valeur numérique et

en considérant y^, z^, p^, q^ comme des paramètres arbitraires, on obtient ainsi une intégrale complète.

Pour résoudre le problème de Cauchy correspondant à une courbe donnée C, il faut d'abord rechercher le long de cette courbe une orientation d'éléments du second ordre unis et vérifiant le système proposé (33); cette orientation est donnée par

, , ^ dz dx dy

oïl X, y, z sont des fonctions données de X. L'équation (40' ^^^^ rentiée par rapport à X, donne

Pdl^Ul'

dx dy

^'y j'fdxX^ dx dy /dy\*

cette relation fait connaître s en fonction de/>, y et X ; l'équation (4i) fait connaître q en fonction de p et X, de sorte que l'équation (42) devient une équation du premier ordre dont l'intégration livrera/?.

Étant donnée une courbe G, il y a donc une infinité à un paramètre de surfaces intégrales contenant cette courbe.

15. Considérons une orientation d'éléments unis le long de C et vérifiant notre système, et une intégrale complète.

On peut, comme nous l'avons vu dans la théorie générale, choisir comme valeurs de ses paramètres des fonctions de X telles que l'intégrale complète passe successivement par les divers éléments de cette orientation. Soit

Téquation de cette intégrale à un paramètre; la surface intégrale sera l'enveloppe de la surface (44) et aura avec elle un contact du second ordre tout le long de la caractéristique; on aura donc tout le long de

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 33

cette courbe

S indiquant la différentiation par rapport au paramètre X.

Si l'on se propose de trouver, sur la surface intégrale, l'enveloppe des caractéristiques, il faudra éliminer X entre les équations

F = o, ÔFzno, d»F = o, ô»F = o.

La courbe ainsi définie a un contact du second ordre avec les caractéristiques qu'elle enveloppe. En effet, les éléments du premier et du second ordre de l'enveloppe sont définis par

^F -4- ôF = o, dèF-h d«F = o,

d^F -h 2ddF -h a»F = o, ^ôF + 2ûf â»F -h d»F = o,

OÙ X est considéré comme une fonction de xyz; mais, à cause de

ÔF — o, ô«F = o, ô»F = o,

ces équations se réduisent à

dF = o, d$F = o, dS^F^Oy d^F = o, d^èF = o,

OÙ l'on considère X comme une constante; or, nous obtenons ainsi les équations qui définissent les éléments du premier et du second ordre de la caractéristique.

Nous voyons ainsi que les intégrales des systèmes formés de deux équations du second ordre à deux variables indépendantes sont analogues aux intégrales sans rebroussement apparent signalées par M. Darboux, comme un cas particulier dans les intégrales des équations du premier ordre.

Nous appellerons courbes intégrales du système proposé ces enveloppes de caractéristiques jouissant de la propriété d^avoir un contact du second ordre avec leurs enveloppées.

Proposons-nous de chercher l'équation différentielle de ces courbes*

Sur une surface intégrale quelconque, nous avons, pour un dépla-

34 J. BEUDON.

cernent quelconque, les relations

dz dy

dx ^ ^ dx^

dx ^ dx

Différentionsla première de ces relations en tenant compte des deux autres; nous obtiendrons

DifTérentions la relation (46); il vient

df ds da dy d}y

ds dx dx dx dx*

\dx) \dq\ ~ dx) ds dxj ~ dx dx* \ ^^ dxjdx^^^dx^

Considérons maintenant, sur une surface intégrale, le point de contact d'une caractéristique avec son enveloppe; le déplacement est défini par

, j t dy dz dp dq d}y d}z . ,

pour les deux courbes, -^f ^> ^^ ^^ ^> ^^ ont les mêmes va-

leurs, tandis que la valeur de ^ n'est pas la même pour la caractéristique et pour son enveloppe ; mais, d'autre part, ^ disparait de l'équation (4?); cette relation est donc commune à la caractéristique

SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 35

et k son enveloppe. En éliminant p.q^s entre la première des équations (45) et les équations (46), (4?) ©t (48), on aura Téquation différentielle des courbes intégrales

Inversement, si Ton considère une courbe C

vérifiant la relation (49 )f la première des équations (45) et les équations (46), (47) et (48) définissent, le long de cette courbe, une orientation d'éléments du second ordre unis; à chacun de ces éléments correspondra une caractéristique ayant, avec la courbe donnée, un contact du second ordre, et toutes ces caractéristiques engendreront une surface intégrale ayant pour arête de rebroussement non apparent la courbe C.

16. Il est clair que des calculs et des raisonnements tout à fait analogues s'appliquent à tout système complètement intégrable composé de p équations d'ordre p définissant une fonction z de deux variables X et y.

C- *— M. m rfO* • « ■•Art

C- — M. m rfO • « ■•Art