Soit
une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes; appliquons-lui le changement de variables, dont nous avons déjà fait usage au n^ 9, et désignons par
Xda; -f- Ydy + Zdz -h Pdp -^Qdq-h ^dr -4- Sds 4- T^^ = o
sa différentielle totale.
Si, aux variables x et j, nous substituons les variables x et jo» nous aurons
àyo ^ àfo' dfo àfo àfo àyo
(52) ^~p4-^^, ^=:/.4..ç^, ^=:s-he^'
ôx ^ ^ dx dx dx dx âx '
d'où
dp dq dy^ dq dy
ày^ ~~ dx dy^ J^ô àx^
iK'W y dr __ ds dy ôs dy
^ ^/o ~" àx dy^ dyti dx^
ds dt dy dt dy
dyo dx dyo dy^ dx
Différentiant Téquatioii proposée par rapport à^o» nous aurons
ày^ dyo dyo dyo dyo dyo dyo
en utilisant les équations (5i), (02) et (53), cette relation devient
\ dx dx dx dx ) dyo
Vi-m-A%.
Si y^ a été choisi de façon que Téquation précédente se réduit à
dx
(55) Y-+-Z7-hP*H-Q/ + R|^4-S^~R^^ = o ^ ' dx dx dx dx
et, en remplaçant l'équation proposée (5o) par sa dérivée par rapport à 27, on a
(56) x + Z/>-hP/-4-Q5-hR^4-SJ^+T|^=o.
Si Ton considère les équations (^2), {^f{)j (55) et (56) comme des équations différentielles ordinaires, tout système d'expression de y, z^p,q,r^s,t^ en fonction de a? qui les vérifie, s'appelle une carajctèristique; avec notre terminologie, ce système d'expressions représente une multiplicité M'.
Les caractéristiques sont déterminées par un système de six équations à sept inconnues; elles dépendent donc d'une fonction arbitraire.
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 87
M. Darboux a remarqué {Annales de V École Normale y 1870) que si, au lieu de se borner aux inconnues y, j», />, 9, r,s,t, on adjoint les dérivées du troisième, quatrième, . . . , n'^™* ordre, le nombre des équations ne contenant pas y© est encore inférieur d'une unité au nombre des fonctions inconnues.
En effet, considérons d'abord le cas où l'on introduit seulement les
dérivées du troisième ordre, et désignons par 5- et j- les opérations suivantes :
— — — ~ +— r A.Ç É^oL -3 ~ dx ~' dx dr^ dp dq dr ds ^ dt ' '
dy dy dr ' dp dq dr^ ds' dt *
OÙ a, p, y, 8 désignent les dérivées du troisième ordre de z; ces deux opérations sont commutatives.
Nous devons remplacer l'équation proposée (5o) par les équations
^ oyo ^dyo
//» V àr ^ dy
d'où l'on déduit
dy
;em
ent de variables sont (5i), (52)
as dy dt i^y .
dyo ^ dyo' dyo àyo'
ds - ày dt ,dv
dx'-^'^ydx' dx^y-^Ux'^
da.
àyo dp
d^ dy dÇi dy dx dyo dyo dx^
dy dy dy dy
\ dyo " dx dyo dyo dx^
dyo dx dyo dyo dx
Différcntions (57) par rapport à y^f nous obtiendrons
d"/ dy ^ d/ da ^ d/dl^dfdy^
dx dy Ofo dr Oyo ds dyo dt dyo
38 J. BEUDON.
* OU» en tenant compte des relations (6i) et en annulant le coefficient de j—y
dr\dx) ds ôx ât *
qui n'est autre chose que la relation (54)» et
(62) ^/ , à/d^ df dy dy ^ à/dy ^^ ^ ' dxdy ùr dx dr dx ùx ds dx
En opérant de la même façon sur (58), on obtient
(63) ^^U^^iLÈl ^^^'Êi^o.
^ ' dy* dr dx dr dx dx ds dx
Enfin, (57), différentiée par rapport à x^ donne
(6A) ^/ 1 à^fày , à/d^ ^ dfày ^ dfàà^^
^ ' dxdy dy^ dx dr dx ds dx dt dx
Or, on voit de suite que si l'on multiplie (63) par -^ et qu'on l'ajoute à (62), en tenant compte de (54), on obtient la relation (64); nous avons donc trois équations pour déterminer 3^> 35^ > t^> 3- •
^ ^ dx OX dx dx
La démonstration se fait d'une façon toute pareille pour un ordre quelconque n; nous poserons
et nous considérerons les deux opérations
Ty-d^'^ZiÏÏîr^^''^^''
qui sont échangeables entre elles.
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUÀTIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. Sq
Il faudra remplacer l'équation proposée par le système
composé de n — I équations; en particulier, l'équation précédente se terminera par le trinôme
Les formules du changement de variables sont
Pour l'ordre riy on aura, en écrivant les conditions d'intégrabilité,
àya
dl\^x^-^\ ày dx âyo
dZx-+.| 1JL+.1 dy dyo dx
vZx+.i pn-i
dyo
dZxpL4.t dy àx dyo
dZ\^^ dy dya dx
Prenons la dérivée de (65) par rapport à y^y nous aurons
Q ^^"V ày ^ àfdlx^^^ ^ df dZx^,^^, ^ d/ dZx^^^ ^ dx'^dyV-*-^ dyo dr dyo ds dyo dt dyo
OU, en tenant compte de (68) et en annulant le coefQcient de
<^ZX|JL4-t
dyo il vient l'équation (54) et
(f^\ n- ^'"'•^ I ^/ ^^->t*^» , àf dZx^i^, df dy (?Zx|t4., ^09; ^ — dx^ dy\^^ "^ ds dx dr dx ' dr dx dx
En opérant de même sur l'équation
nous obtiendrons
■^ dx^-^^dyv- as dx dr dx dr dx dx
Différentiant (65) par rapport à a?, on a
^^ ^ dx^^'dyV-'^ dx'^dyV-^^ dx'^ dr dx ds dx '^ dt dx '^ '
Il est facile de vérifier, comme précédemment, que cette dernière relation est une combinaison linéaire de (69) et (70). Il résulte des calculs précédents que Ton a n équations pour déterminer les n-^i
quantités -j^-
On sait, d'après M. Darboux, que, pour intégrer l'équation aux dérivées partielles proposée, il faut chercher a former, en dehors de l'équation proposée , deux combinaisons intégrables des équations en
Soient
^{^yyy^^PyÇy • • • ) = consl., Fi ( ^, y, 5, /?, ^, . . .) = const.
deux combinaisons intégrables; les deux constantes qui figurent dans ces équations doivent être considérées comme des fonctions inconnues de Vo; éliminantjo» on est conduit à une équation de la forme
F = fonction arbitraire de F|.
Cette dernière relation peut être évidemment considérée comme une nouvelle équation compatible avec la proposée, et qui admet en commun avec elle une intégrale avec une fonction arbitraire. Les résultats obtenus précédemment nous fournissent un procédé régulier pour construire la surface intégrale passant par une courbe donnée G et tangente, tout le long de C, à une développable D passant par cette courbe.
Soient, en effet,
œil), yCk), 5(X), Z„(X), Z„(X)
les fonctions qui définissent la courbe C et la développable D; elles
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. 4^
vérifient la condition
dL „ dx „ dy
Les fonctions z^^^ Z|,, z^^ sont définies le long de la courbe par
^10 __ 7 dx „ dy ^01 y dx r, dy
D*une façon générale, si Ton a détermfné les valeurs des dérivées jusqu^à Tordre i, les dérivées d'ordre î -h i seront données par
On procédera ainsi de proche en proche jusqu'à Tordre n.
Si Ton remplace a;, j, 2 et les dérivées par leurs expressions en fonction de X, F et F| deviennent aussi des fonctions de X entre lesquelles il y a une relation
On envisagera ensuite le système
. df df ^ ^«-V d'^-V
'^ dx dy dj?'*-* ^yn-2 » T 9
dont la solution générale renferme une fonction arbitraire, et Ton formera les équations différentielles des caractéristiques. Si Ton sait les intégrer, le problème s'achève par des éliminations, car ici on connaît la multiplicité initiale M^', et par suite on n'a plus qu'à chercher le lieu des caractéristiques issues des divers éléments E'' de cette
multiplicité.
4 2 J. BEUDON.
En appliquant les principes précédents à Téquation
on trouve» par des calculs que j'omets à dessein, que les deux combinaisons intégrables sont définies par Téquation linéaire et du premier ordre
^^ di di
A^ \ r ày)
q q^-' •' q q dy 9 ^i\Ç t) i\Ç <lV AxL\9 gV ày*'
dyd- ^^ ^ ' d'
