I. Désignant par
^y JK> • • •
les variables indépendantes, et par
les fonctions inconnues d'un système différentiel quelconque, faisons correspondre à chacune des quantités
p entiers positifs, nuls ou négatifs, que nous nommerons cote première, cote seconde, etc., cote [^^^^ de cette quantité; considérant ensuite une dérivée quelconque de Tune des fonctions inconnues, et désignant par q un terme pris à volonté dans la suite
1 , 2, • • • f Pj
nommons cote y^^™® de la dérivée en question l'entier obtenu en ajoutant à la cote q^""^^ de la fonction inconnue les cotes y>«"«» de toutes les variables de différentiation, distinctes ou non.
Cela étant, le système différentiel proposé sera dit orthonome, si, moyennant un choix convenable du nombre/? et des cotes attribuées àa?, j, ..., M, i^, . .., il remplit à la fois les conditions suivantes :
I® Chacune des équations données a pour premier membre une dérivée de quelque fonction inconnue; les premiers membres dont il s'agit sont tous distincts entre eux, et les seconds membres, si l'on y considère pour un instant a?, y, . .., u, ç, ..., et les dérivées de «, ^, ... qui y figurent comme autant de variables distinctes, sont tous olotropes dans un même système de cercles.
2^ Les diverses dérivées des fonctions inconnues qui figurent dans les seconds membres d'une équation quelconque ont des ordres au plus égaux à celui du premier membre correspondant; en outre» si l'on désigne par c,, . . ., c^ les cotes du premier membre, et par c^, ..., c celles d'une dérivée quelconque d'ordre égal figurant dans le second,
J. BEUDON.
les différences
Cl — c,,
Cj C j , • • • )
Cp-C'p
ne sont pas toutes nulles, et la premiëre d'entre elles qui ne s'évanouit pas est positive.
3® Aucun des premiers membres ni aucune de leurs dérivées ne figurent dans le second membre d'une équation donnée quelle qu'elle soit.
II. En adjoignant aux relations d'un système orthonome donné toutes celles qui s'en déduisent par de simples difTérenciations, on obtient un groupe illimité de relations dont la considération permet de partager en deux grandes catégories les dérivées de tous les ordres des diverses fonctions inconnues; parmi ces dérivées, les unes, que nous noiam^voïi^ principales y figurent au moins une fois dans les premiers membres des relations considérées; les autres, que nous nommerons /^aromem^'w^f, n'y figurent jamais.
III. Les relations primitives d'un système orthonome donné peuvent se partager en groupes se succédant d'après une loi telle que les seconds membres d'un groupe quelconque ne contiennent, outre les variables indépendantes, les fonctions inconnues et certaines dérivées paramétriques, que les dérivées principales figurant dans le premier membre des groupes antérieurs.
Ces groupes de relations s'appellent re/a/ion^ ultimes.
IV. Par rapport aux valeurs initiales Xq, y^y . . . des variables indépendantes, nous nommerons détermination initiale d'une intégrale la portion de son développement formée par l'ensemble des termes qui, aux facteurs numériques constants près, ont pour coefficients les valeurs initiales de l'intégrale et de ses dérivées paramétriques.
V. Un système orthonome est dit passif si la concordance numérique des relations ultimes a lieu pour toutes les données initiales possibles.
VI. Si l'on considère deux dérivées (distinctes) d'une fonction quelconque F(ir,y, , . .) et que l'on adjoigne mentalement à chacune d'elles la suite indéfinie de ses propres dérivées, tout terme commun aux deux groupes illimités ainsi obtenus se nommera une résultante des deux dérivées en question.
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. l3
Considérons un système orthonome et dans ce système deux équations ayant pour premiers membres respectifs deux dérivées d'une même fonction inconnue; puis, prenons la résultante à' ordre minimum de ces dérivées, et faisons cette opération de toutes les manières possibles; les résultantes, en nombre essentiellement limité, que nous obtiendrons ainsi, se nommeront les dérivées cardinales des diverses fonctions inconnues.
Pour qu'un système difierentiel orthonome soit passif, il faut et il suffit que les diverses expressions ultimes d'une même dérivée cardinale quelconque soient égales identiquement.
VII. Étant donné un système orthonome passif, si l'on choisit une détermination initiale convergente, les développements que l'on en déduit pour les intégrales au moyen du système sont en général convergents.
6. Appliquons d'abord les résultats précédents à un exemple simple. Soit
. . ( s=f{x,y, s,p,qy r),
I ^ = 9(a?, y, Zyp, Çy r)
un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, où l'on a posé
__dz __àz d^z (?*js d^z
^-W ^^dy' ''-J^' ^--dxdy' " dy^'
quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il soit orthonome et passif?
Choisissons les cotes suivantes :
pour j8,
O Si Xy
Le système est alors orthonome, car la cote de r est o, celle de ^ est i , et celle de t est 2.
Pour qu'il soit passif, il faut que les expressions ultimes des dérivées cardinales soient égales identiquement; or on a, dans les premiers
l4 J« BEUDON.
membres, les dérivées
dx dy dy^
qui ont pour dérivée cardinale
dx dy*
Du système (7), on tire
d*z ^df ^ df ^ df ^ ^ df ^ dfd^z
dx* dy dx dz^ dp dq dr dx*^
dxdy* dx dz^ dp dq dr dx*
^àf ^ df ^ df .df df d>z dy dz dp'^ dq ° dr dx^ dy
d'où les conditions
h - (Èfy
dr ~ \drj '
dx dz'^ dp dq''
= à2^àf d^,^^ df(^^Af,^àf^^^\ dy dz ^ dp'' dq^ dr\dx dz^ ^ dp dq'' )
Si ces conditions sont remplies, les dérivées paramétriques sont
et elles définissent le degré de généralité de la solution; l'interprétation géométrique est immédiate : pour définir une surface intégrale, il suffira de se donner un élément E* et une courbe issue de cet élément.
7. Considérons maintenant un système d'équations aux dérivées partielles définissant ^ en fonction de o^i, .. ., â?„ dont toutes les équations ont été ramenées au même ordre/? par des différentiations convenables, et supposons que le nombre de ces équations soit égal à
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQOATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. I 5
r^ désignant le nombre des dérivées d'ordre/? de « par rapport à a7< , . . . , Xn9 et I un entier positif aa/?/wj égala n.
On peut toujours supposer que le système a la forme suivante :
Cherchons les conditions de passivité d'un tel système.
Pour obtenir les z^\ il faut différentier les équations du système par rapport à .r,, ..,, x^ successivement; on obtiendra ainsi les^''"*^* en fonction des z*, . ., 2^ et des
Parmi les équations (8), il y en a de la forme
dPz ( dPz àPz\
dxPfT'dx^ ~ \^''" •' ^'"^'- • •' 5^' • • • ' à^J'
différentiées par rapport à a?^, elles donnent les
dp^^z
en fonction des
dp-^^z
Envisageons de même les relations
dPz ( dPz dPz\
elles sont au nombre de 1(1 — i); différentiées convenablement, elles donnent i(i — i) relations entre les
l6 J. BEUDON.
permettant de les calculer en fonction de
a?,, ..., a?„, «, L, ..., LPy 5^pTï> •••> dxf^' On aura donc, pour Tordre /? -f-i ,
et, d'une façon générale, en appliquant de proche en proche le mécanisme précédent,
(dPz dP'*'^z dP'^^z\
ce sont les relations ultimes (5, III).
Les dérivés paramétriques sont ici
ZS •••» Z^ * et '^^^y
/% — ^ 1,4(1, •••,(, cr ■ 1,^, •••,
pour reconnaître si le système est passif, il faudra considérer les dérivées cardinales; or, la dérivée cardinale de Zg ft etZÇ y est d'ordre Q.p au plus; il suffira donc de pousser les opérations indiquées Jusqu'à l'ordre ip et de vérifier que les différentes expressions ultimes des dérii^ées cardinales sont égales identiquement (5, VI).
Le degré de généralité des intégrales est déterminé par le développement
Z —^ Zq :zi ir (;37i — X^ , . . . , Xf^ — J7^ )
*iFi[G^).<-.-<)'*--(^).<-'-Ȕ4
OÙ P est un polynôme de degré/? — i ; on peut encore écrire
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. I7
Q est encore un polynôme de degré/? — i, et si l'on fait
J?j 7ZZ J?j , . . , , ûHf^-^n X f^ , on d Z — -3o "m ^1 (^1 — ^i />
X^=X\, . ..yX„=Xly » Z — SO = Cp/ (07/ — a?? )
De plus, comme une transformation ponctuelle ne change pas les propriétés du système proposé , nous pouvons en conclure que la muUipUcité intégrale m^ est complètement déterminée si l'on se donne un élément E^"* et i courbes (multiplicités à une dimension) issues de cet élément.
Appliquons le mécanisme indiqué à l'exemple suivant :
^^^ àx.dx^ - dxl "^'^'
âxi dxz dx\ dx\ ' dx^dxz dx\ *
Les dérivées cardinales sont
dx^dx^dx^ dx^dx\ âx^dxl dxidxfdx\'
nous devons donc aller jusqu'au quatrième ordre.
Pour calculer
dx\dx^ dx\dx^
il suffit de différentier (lo) par rapport àa?^ et (ii) par rapport \x^\
on obtient
dx\dxi dx\ dx\^
dx\dxi dx\
l8 J. BEUDON.
Différentiant (9) par rapport à x^ et x^ successivement, on a
■ ■— ■ ■ ■ I ■ . Il . ■ ^ M •
Il vient alors, en différentiant (9) par rapport à a;,, (10) par rapport à a?a et (i i) par rapport à x^ :
dx^dx^dx^ dx\dx^ dx\dxi ' dx\ ' dx\^
différentiant (10) par rapport à x^ et (12) par rapport à x^,
dxidx\ dx\dxz dx\dx^ dx\ ôx^dxl ~~ dx\ dx\^
différentiant (11) par rapport à 073 et (12) par rapport à x^ :
dxxdx\ dx\dx^ dx\dxx dx\ dx\^
les différentes expressions ultimes des dérivées cardinales du troisième ordre sont donc concordantes; on vérifierait par le même procédé et en différentiant (i3) par rapport à x^ et (i4) par rapport à a?, que les
expressions ultimes de :t — ^ — r-rsont aussi concordantes.
^ oxiox^âxl
8. Envisageons encore le système (8), dans lequel nous supposerons maintenant i<^n, Tinégalité excluant l'égalité. Il se compose d'un premier groupe
formé d'équations telles que, dans les premiers membres, il n'y a aucune dérivée de la forme
dPs
puis n — i équations
, V àPz / ôPz dPz\
f . dPz ( dPz Opz\
SUR LES SYSTÈMES d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. I9
Il résulte immédiatement du mécanisme adopté pour écrire les conditions de passivité que, si le système proposé est passif, les différents systèmes
(Aa,), ..., (Aa«-./)
le sont aussi.
Donc, si un système différentiel, définissant z en fonctions dex^,. . , a?;,, composé de Ff — / équations d*ordre p(i<^n)^ est passifs il renferme n — i systèmes différentiels passifs composés chacun deT^ — n-hi équations.
