I.OI I) OinilOGONALlTK DKS KLK.M KNTS
é(jiiations ( /j ) ; on vrrifitî facilement que si les f|iiaiitilés X satisfont à des équations de la forme (<S) ( n" 5) il en est de même des quantités \.
Considérons maintenant un espace d'ordre n = 3/;; soit M un système point de cetespace, ^j , ^i , . . . , \'l\ l\,\\, . . . , \'!y ; ;^, ;r|, ..., :!| les paramètres normauv des tangentes MT^, MTo, IMT.j du système; nous déterminerons, à un facteur commun près, n fonctions ^'j, ^^j ..., ç'„ par les (n — i)équatiois linéaires et liomo2;ènes
" f^Ll'i ^
On déterminerait de môme ;V , ^o'' • ♦ •' ^2" 5 P"'^ ^V ' ^3"' • • • ' ^:" par des équations analogues. I^our indiquer d'une façon plus nette le moyen de déterminer les fonctions ^', , l'2> • • • 5 ^« nous formerons les équations suivantes, qui sont linéaires et homogènes par rapport aux inconnues Xj, X,, , . . , X,^ :
ou'i
SX
:sx
Oui
dki.
SX
SX
SX
au';-'
au':-'
àitt'
Les quantités :', satisfont à toutes ces équations, sauf l'équation (3); les quantités ^', à toutes sauf l'équation (7) et les (]uantités ^'^ à toutes sauf l'équation (0).
Il faut d'abord vérifier que les quantités ;', , Çji ^3 ainsi déterminées sont les paramètres directeurs des tangentes à un système point. Pour cela on vérifie, en tenant compte des équations (6), des équations (i) ( n<^ 2) que les quantités
22 Cll.Vi'lTllK IV.
— ^^ salisiont aux: équations (a) et (c); par conséquent les — ^-
s'expriment en fonction linéaire et homogène des quantités ;',
et ^'2 5 clii'iG manière générale — ^ s'exprime en fonction
linéaire et homogène de ^', et de ;'y^. ; donc (n«» 2) les quantités ;j, ^'.,, Ç3 sont les paramètres directeurs des tangentes à un système point.
D'autre part, on déduit facilement des équations (6) et des équations analogues pour les quantités ;',, ^3 qu'il y a réciprocité entre les fonctions ^ et ^', c'est-à-dire que les i peuvent se déduire des i' , absolument comme nous avons déduit les ;' des ^.
Gela posé, soit M' un système point dont les tangentes ont pour paramètres directeurs les quantités ^'; nous dirons que M et M' décrivent des systèmes points orthogonauœ.
Considérons maintenant une droite D dont les paramètres sont Xj, . . ., X„ et un système plan P défini par sa première droite focale dont les paramètres directeurs sont Y,, Yo, . . .. Y„. Si le svstème droite D est donné, on détermine les ^ par les {n — i) équations
XYX
^, (MX
Si, au contraire, le système plan est donné, on détermine les X par les {n — i) équations
iXY
1 Ou'.';
qui, comme on le voit facilement, sont une conséquence des équations (-).
Dans ces conditions, nous dirons que le système droite D et le système plan P sont orthogonaux.
l,OI I) OHTHOGONALITi: J)KS KI-K.M K.MS. xi
Les syslèines orthogonaux possèdent les propriétés suivantes, <jue, poui- abréger, nous énonçons sans démonstration.
Si deiLv systèmes points sont ovttioi^onaax, toute droite focale de V un est orthogonale au plan focal de même rang de r autre.
Tout système droite assemblé à V un est orthogonal à un système^ plan assemblé à l'autre et inversement.
Si un système droite et un système plan sont orthogonaux :
Tout point focal de la droite est orthogonal au point focal de même rang du plan;
Tout plan focal de la droite est orthogonal à la droite focale de même rang du plan;
Tout système point assemblé à la droite est orthogonal à un système point assemblé au plan et inversement ;
Tout système plan assemblé à la droite est orthogonal à un système droite assemblé au plan et inversement.
20. Espaces d'ordre 3/; + 1. — Considérons, dans un espace d'ordre n^iop-^-i^ un système point iM dont les tangentes ont pour paramètres normaux çj, ;'^, ..., ;',', ;J, ;^, ..., ç'^5 çji ^.?j •••? ^" et un système droite D, Ja droite D ayant pour païamètres directeurs X,, X2, . . ., X,,. Si le système M est donné, on déduit les X par les ( /^ — i) équations
:sx^, = o,
(9) ' lX^,= o, ^X'^ =0 ik
^Xi3=0,
Au contraire, si le système droite D est donné, on détermine les ;i par les {n — i) équations
ôa'i
ôa'i
cy/'X
ih= I.>, .
les quantités c., et z-^ se déterminent par des équations ana-
24 CllAPlTHI-: IV.
logues. Toutes ces équations sont d'ailleurs une conséquence des équations (9) et des équations (i) du n** 2.
Dans ces conditions, le système point décrit par M et le système droite décrit par D sont dits orLiiogonaux.
Considérons maintenant un système plan P défini par sa première droite focale qui a pour paramètres X,, X.,, ..., X,, et un second système plan Q dont la première droite focale a pour paramétres Y,, Yo, ..., Y,,. Si les X sont donnés, déterminons les Y par les ( /?. — i) équations
(«0 < ^ ^ du
ou'l da'.l
Ces équations entraînent les suivantes : XY = o,
rMX
SX-— ^=0 ( A- = I, 2, . = .,/> 4- i),
SX^ = o, vx^==o (h
Ou'.i du'i
de sorte qu'il y a réciprocité entre les X et les Y. Dans ces conditions, nous dirons que les systèmes plans P et (^ sont orthogonaux.
Ces systèmes possèdent les propriétés suivantes :
Si un système point et un système droite sont orthogonaux:
Toute droite focale du point est ortliogonalc au point focal de même rang de la droite;
Tout plan focal du point est orthogonal au plan focal de même rang de la droite;
Toute droite assemblée au point est orthogonale à un point assemblé à la droite et inversement;
Tout plan assemblé au point est orthogonal à un plan assemblé à la droite et inversement.
Si deux systèmes plans sont orthogonaux :
Tout point focal de l'un est ortliogonal à la droite focale de même rang de l'autre;
Tout point assemblé à l'un est orthogonal à une droite assemblée à Vautre et inversement.
