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•.>-6 CHAI>1TRK IV. — LOI d'oIH MOGOXAI.lTh: DKS KLKMKNTS.
(// — i) équations
Les quantités ;^. ^, . . ., ;'^' se déterminent par des équations analogues aux équations (17); les équations (16), (17) sont d'ailleurs une conséquence des équations (i5) et des équations (i) du n» 2.
Dans ces conditions, nous dirons que le point M et le plan P décrivent des systèmes oj'tliogonaujc.
Ces systèmes orthogonaux possèdent les propriétés suivantes :
Si deux systèmes droites sont orthogonaux :
Tout point focal de l'un est orthogonal au plan focal
de même rang de V autre- Tout point assemblé à l'un est orthogonal à un plan
assemblé à i autre et inversement.
Si un système point et un système plan sont orthogonaux :
Toute droite focale du point est orthogonale à la droite focale de même rang du plan ;
Tout plan focal du point est orthogonal au point focal de même rang du plan ;
Toute droite assemblée au point est orthogonale à une droite assemblée au plan et inversement :
Tout plan assemblé au point est ortJiogonal à un point assemblé au plan et inversement.
ClIAPIÏRIi: V.
SYSTÈMES POINTS 0
22. Systèmes points rectangulaires. Systèmes O. — Un système point est dit rectangulaire, si les tangentes MTj, MT2, MT3 de ce systènne sont deux à deux perpendiculaires. On aura dans ce cas les équations
(i) ^Uh^o, ^^UU = o, l^,b=o.
Si l'on pose maintenant
on aura, en tenant compte des formules (i) du n*' 2, (3) i!l = .?„.^,^,= o, J=,p,3v,.j,= .,.
par conséquent 6, est une fonction de w, seul; on voit de même que Oo et 0;j sont des fonctions respectives de ii^i et de Uz.
Les fonctions ;, sont déterminées à un facteur prés (n*^ 2) qui est une fonction de u^ ; si donc 6i n'est pas nul, on pourra le réduire à l'unité; même conclusion pour 6i et Oo.
11 en résulte que, si aucune des quantités Oj, Oo, O3 n'est nulle, on peut choisir les paramétres normaux, ^j, ^2? ^s» ^^^ telle sorte qu'ils satisfassent aux équations (i) et aux équations
( 'i\ Vt2, V{>, v!:2|
Dans ce cas, le système point est appelé un système O. On voit que les coordonnées .3?,, x^^ . . ., .r„ du point M satisfont aux équations
dx dx âx j ^
On aura donc, en tenant compte des équations (i), (4)
28 niAPiTiu: V.
et (5),
c'est-à-dire que le point M décrit un système triple-orthogonal.
Dans le cas où une, ou plusieurs, des quantités 0,, O,, O3 sont nulles, nous dirons que le système point est un système rectani^ulalre singulier.
23. Déterminants O. — Considérons un déterminant A à ri- éléments qui sont les coefficients d'une substitution orthogonale dans l'espace à n dimensions :
Supposons que les éléments de ce déterminant soient des fonctions de trois variables //,, z^j, «3. On pourra exprimer les dérivées des éléments d'une même colonne, en fonction linéaire et homogène des éléments de cette colonne, les coefficients ne déjDcndant pas de la colonne ; on aura par conséquent des équations de la forme
— - = 2^p„xi
dx' v^ .
dx).
OUi
Xf
On vérifie facilement que l'on a
( Pk/ = — Pik
7/./ = — qik
rid = — rik
Ces quantités /?/./, 7/,/, /'/./ ^onl les rotations du déterminant A.
En formant de deux manières différentes les valeurs de
SYSTÈMES POINTS O
. , , ' , , ' en se servant des équalions (7), on Oiiif>t/.> da-xOii-i i)u:i(Jui ^ ^ ' '^'
ol)llenL les relations qui doivent exister entre les rotations.
Nous supposerons que ces relations sont satisfaites.
On peut alors se proposer de déteiniiner les éléments de A
connaissant les rotations. Les éléments d'une même colonne
sont solutions du svstème
au./,, àui
= :Lp /,/./■/,
-^y:cjA/T/,
dx.
= ^rux,,
Oll:
qui est un système complet. On en déduit que la solution la l)lus générale se déduit dune solution particulière, en e(Tecluant sur les éléments du déterminant A une substitution orthogonale à coefficients constants.
Nous allons prendre une forme spéciale du déterminant A; nous modifierons d'abord la notation employée pour les éléments des trois dernières lignes; nous écrirons ^|, \\,
au lieu de x.
le X
Il -i 5
enfin ^
. , ;" au lieu
au lieu d
If)
x\, ..., x'li\ de sorte que le déterminant a la forme suivante :
Nous supposerons de plus que toutes les rotations pi-i sont nulles, sauf/?/,. „2 qui sera désigné par a,, si k est plus petit que n — 2, par ^,1 pour A :=z /i — 1, par ^gj pour A t=:/i; de même toutes les rotations (/^f sont nulles, sauf si l=z n — i ; on désignera qk^n-\ pa>' ^>k si k est plus petit que n — 2, par 1^12 si k^::z n — 2, par p-jo si k =z n\ enfin toutes les rotations /•/,-,/ sont nulles, sauf les rotations r;^^ qui seront désignées par C/c si k est plus petit que n — 2, par ^^,3 si / = /i — 2, par ^2:j si k zzz n — i .
J<' CIIAP1TRI-: V.
Il résulte d'ailleurs de ce qui suit qu'il est possible de choisir ainsi les rotations.
On aura par conséquent les formules suivantes :
dx'.
au, ■'
àx', / / = I > n "^
et
caV-,
Q, il
ÔUi
5^-'^"'»' d;;;-'^^'^" jïï:-''"'^-
En écrivant que les équations (11), (12), (i3) forment un système complet, on trouve que les rotations ft/^., b/.^ C/,, p,/^. doivent satisfaire aux. équations suivantes :
ùbi, àu-i
ou, -'■■^'''-
db,.
t)Ui
Pl2«/o
= '^u'pii.
(„;, ; '!hi^'^^ '^,,h,+ V bue, = o.
Ou-, OiC:^
