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OU3 Oti\ '-^'-' ^ ''

SYSTÈMES POINTS O

Les é(jiialioiis (i i), (i5), (iG) forment un système de (jn — 9 é(j nations entre les ^n — 3 rotations r//^., b/^y C/,., ^,^.. On poiii-rait, par les méthodes connues, chercher le degré de généralité de ce système, mais nous arriverons au lésultat par une autre méthode (n'^^G).

Nous dirons (|ue le déterminant A, qui possède les propriétés que nous venons d'indiquer, est un déterniinant O d'ordre n.^

J)es formules (i?î) on déduit immédiatement le résultat :

Les éléments des trois dernières lif^nes d'un déterminant () sont les paramètres normaux des trois tangentes à un système point G.

D'un déterminant O on peut déduire une infinité d'autres. Considérons, en effet, la matrice

Effectuons sur les éléments des colonnes une même substitution orthogonale à coefficients constants; c'est-à-dire posons

où les a sont les coefficients d'une substitution orthogonale à coefficients constants. Si dans le déterminant O on remplace x^i^ par .T/', le nouveau déterminant ainsi obtenu est encore un déterminant O. Nous dirons que tous les déterminants, ainsi obtenus, sont équivalents.

Ces déterminants sont définis par leurs trois dernières lignes. La démo^istration est analogue à celle que j'ai donnée, pour le cas de deux indéterminées, dans mon Mémoire : Sur les systènies cycliques et orthogonaux, i""^ l^arlie, p. 5o3.

11 y a donc un lien étroit entre la théorie des systèmes points O et celle des déterminants O. A chaque système point O on fait correspondre un déterminant O et un seul (on ne considère pas comme distincts deux déterminants O équivalents); de même à chaque déterminant O on peut faire correspondre une série parallèle de systènies points O. Si

(:iiAi>rnu: v.

. ., X,i) est un tel système G on aura

0\ Ou/,-

Ou/

La résolution du système (19) introduit trois fonctions arbitraires d'une variable; les fonctions Ji étant connues, on aura les n coordonnées X à Taide de quadratures. On obtient ainsi tous les systèmes points O qui correspondent à un même déterminant O. ]*ar analogie avec ce (|ui se passe dans l'espace à trois diujensions, nous dirons ((ue le déterminant O définit la représentation spliéiique du système point M.

24. Systèmes <> dans l'espace à trois dimensions. — Dans l'espace à trois dimensions le déterminant U est de la forme

et Ton a les formules

Ou^ OU Ou.

Ou-.

— — tJ21 Ç2 — i^ai

Les six rotations [^//^. satisfont aux neuf équations

'^it \^lk

()U^ Ou -2

(>3.23 , ^'^32 , rj r.

OUo Ou-i

OUy. Ou*

Pl2j^l3= O,