Espaces d'ordre 4, 5, 6. — Dans un espace d'ordre 4 on a
avec les formules
I dx
tl Ï2 ;3 J4
^1 ^1 -ïi ;i
fl £2 £3 £4
tl £2 Ï3 Î4
S 3 -5 3 >j3 -si
^3" , j. ôr .
Ou-
<)Uy "" Ou
Oll/-
du,
'On]
1 àii^ OÙ les rotations satisfont aux conditions
da db ^c 0
t>//o d//3 "^ ÔU.^^ '
-7— = ^3lC, = ^I2«, —- = ^23^,
t^i2r^i3— bc = G, -+- ^23^21+ ca = o.
Dans un espace à cin({ dimensions on a
Ou^ du-,
sa s 3 • • • ^3
SVSTKMIÎS POINTS O.
avec les formules
- = ^nAk (i-^k\
dl
(35) -j- =—'pn\i—^p:n\^—a^Xy—a.x.^,
OU:i
— — r^.i2?:î — pi:
= — ^l.iÇl— 1^2:} b— ^1-2^1— C2^2,
OÙ les rotations satisfont aux éc[uations
àa,-
Ou 2
= h^bi,
Obi .
Oci ,
OUi ^
Ocii Oit-i
= 'h^Ci,
Obi r.
-7—= -+- -f^ -^ F^3i^32+ «1^1 + a.2bo= o,
dui ' Oui
Cl cil -1- c-iCi-î = o.
Enfin dans FesDace à six dimensions on a
cri
clj
Jl
cnAPiTiu: V
avec les formules
dui
du.
/;,. - — =Oiz-2, - — = c,;3 ( / = I, •.>., o).
Ou-
Ou-,
ou 1^
'^uAu {i^k),
'^uh— [^31 ;3— «i.ri— «oa-2— «3^3î
Q >■ or
-r- =— .^13^1— .^23^2— <^1^1 — CiX, — CzXi,
où les rotations satisfont aux équations
dat ^^ àu-i ^
Obi
ÔCj .
c)ff/
-^ h -7 h [isi 1^32 -^ Cl\b^^ a.2Ùo-\- «3^3= o,
ty;^
fvi/.
-^^ — -7—^ + Pi2,!ii3-+- OiCi -+-^oC2-f- O3C3 = O, OU- ' '
— i h io3 .3-M -T- Cl «1 -h C^a.y -T- C3 «3 = O.
Ou^ Ou i
26. Passage d'un espace à l'espace d'ordre supérieur. — Considérons un système point O dans l'espace à n dimensions : soit M (Xj, Xo, . . . , X„) le point qui décrit le système. Les coordonnées X satisfont aux équations (6) (n° 2); ces équations admettent aussi la solution
p = Xf-i-Xa + ...-i-X2.
Cela posé, déterminons jc^, .r,, . . ., ^n+i P^i' les équations
SVSTKMI^S POINTS O. 87
Les quantités (x-) satisfont toutes à des équations du type (6) (n" 2). Le point N(.r,, jc.,^ . . ., ^n+t ) fi"i est situé sur une sphère de rayon un décrit donc un système point O. A ce sysième on peut faire correspondre un déterminant O d'ordre /i '-h i ; dans ce déterminant on connaîtra d'abord les trois deinières lignes, qui sont les cosinus directeurs des tangentes du système N ; en outre, jl^i, œ^, . . ., -l'u+i sont les éléments d'une ligne de ce déterminant.
Inversement, à tout déterminant O d'ordre n -h i on peut faire correspondre des systèmes O dans l'espace à /i dimensions. Si en effet .r,, ^21 • • •> -^«+1 sont les éléments de l'une quelconque des [n — 2) premières lignes du déterminant O, on pourra déterminer \, , X.,, .... X„ par les équations
et l'on aura
Les quantités X et p satisfont à des équations du type (6) (n** 2) dont le point M(Xi, . . ., X,J décrit un système O.
Ce passage d'un espace à l'espace d'ordre supérieur montre l'existence de déterminants O dans un espace d'ordre quelconque.
27. Droites normales à un système O. — Considérons, dans un espace à 11 dimensions (/i>- 3 ), un point
qui décrit un système O; par le point M menons une droite D normale aux trois tangentes du système point, nous allons chercher dans quel cas cette droite D décrit un système. Si nous conservons les notations du n° 23, les paramètres directeurs Yj, Y2, . . . , Y,i de la droite D sont de la forme
(43) Y,-= a,.r', h- ^ux\, -i-. . .-f- a„3j-;' .j.
Les coordonnées Zi, Zo, . . . , Z,^ d\in point X de la droite D
38 ciiviMTRi: V.
sont
(W) Z, = X,+ pY,-.
Ecrivons que si //, varie seul, la droite D enveloppe une courbe. En différentiant Téqualion (/j^) P^i' rapport à //,, on trouve
' \ ()iii du y Ou y
Pour que le point N décrive une courbe tangente à D, il faut que
\ âui du,
du.
ai ao a„ 3
/* , -f- p ( rti ai -T- «2 3^2 -+-••• -H ««-3 3Cn-3 ) = o.
La première série de ces équations montre que le rapport de deux quelconques des quantités a est indépendant de Ux ; on voit, de même, qu'il doit être indépendant de ^/o ^t de ii^\ comme on peut multiplier toutes les quantités a par un même facteur, on voit que Ton peut supposer les quantités Cf. constantes. Dans ces conditions, la droite D décrira un système; nous dirons alors que la droite D est une normale au système point.
Si aj -h a^ 4-. . .+ 'x\^-^ o, la droite D sera dite une normale ordinaire ; si, au contraire, aj -h a^ 4- . . . + '^l-^ = o, la droite D sera une normale isotrope.
Dans le cas d'une normale ordinaire, nous supposerons que la somme aj + a^ -+-. . .-+- a';3 est égale à l'unité.
28. Systèmes plans normaux à système O. — Par un point M (Xi, . . ., X„) qui décrit un système O, menons deux normales D et A(/i>4); je vais montrer que le plan D, A décrit un système. Désignons par Y,. . . ., V,, les paramètres directeurs de D, par Z,, ..., Z,j ceux de A, de sorte que l'on a
SYSTÈMES POINTS O. 89
OÙ les a et les ^ sont des constantes; connme on peut toujours prendre dans le plan D, A deux, normales rectangulaires, nous supposerons que ces normales rectangulaires sont les droites D et A elles-mêmes; de sorte que l'on aura
( \-) :£.'x'^ = o ou XYZ = 0.
1^11(11). nous pouvons suj)poser aussi
^ '^y.- = \ ou o, 2Y-=i ou o,
I X [j2 = I OU O, 2l; Z- = I ou o,
suivant (pie D ou A sont des normales ordinaires ou des normales isotropes.
Enfin, on aura, en tenant compte des équations du n° 23,
1 dUi "'' ÔKi "-' Ou, "''
^^'^^ ) dZ ÔZ àZ
Id^-^^^' àji;-^''' '^,=^-'' où A, B, G, A', B', G' ont les valeurs suivantes :
B =Sa/,6A,
Gela posé, un point quelconque P(Ti, T„) du plan D, A
a des coordonnées qui sont de la forme
(■3g T = Xh-/-iY + piZ.
En dillerentiant ces équations par rapport à u-i et u^, on trouve
l^ = f,(/„ + B,-, + irp,) + Y^+Z^,
\ Olly ' Ou., Ou-,
-Çi- = ^3(/^3 + Gn + G'p,) + Y^+Z^. Ou, ' Ou, Ou,
On voit que. si l'on détermine r, et pi par les équations (53) /io-h B/'i-i- B'p, = o, /tijH- G/-i-h G'pi = o,
on aura
^T Or, 0;.y
Ou-, Ou-, Ou-,
Ou, Ou-, Ou-,
ÎO CHAPITRE V.
Par conséquent, si u^ reste fixe. le point P décrit un réseau dont les tangentes sont dans le plan D, A.
On pourra ainsi déterminer dans le plan J), A un point Q dont les coordonnées (Tj, .... T,'j) sont données par les formules
et. enfin, un point H(T'J, . . ., T,'J défini par les formides
( //i-!-- /'3A -h p3 A'= G, //2-i- /'aB -i- p3B'= o.
On voit facilement que le plan D, A décrit un système ayant pour points focaux les points P, Q, R.
Cela posé, si u^ reste fixe, le ds- du réseau décrit par P est
