INTRODUCTION

droites) qui s'y rattachent. C'est l'objet des Chapitres \' et VI.

Il était utile ensuite d'étudier certains cas particuliers; je suis arrivé ainsi à indiquer toute une série de problèmes qui permettent de former de nouveaux systèmes triple-orthogonaux; eU en outre, je montre les diverses transformations que comporte chaque problème.

Enfin, comme il est matériellement impossible de traiter complètement tous les problèmes posés, mais comme d'autre part il importe de ne pas se contenter de vagues généralités, j'ai étudié, comme type, deux problèmes :

1° Ce que j'appelle les systèmes O, 4^ dans r espace à trois dimensions; ce sont des systèmes triple-orthogonaux qui se correspondent de telle sorte qu'entre les fonctions de Lamé, Ap /io, ^3 de l'un et les fonctions /i\, h'.-,, h'.^ de l'autre, existent les relations

U,, U2, U3 étant respectivement des fonctions de 11^, u^, u^ seuls.

Dans une Note insérée aux Comptes rendus de V Académie des Sciences (1908), j'ai déjà traité le cas où les fonctions Uj, U2, U3 se réduisent toutes à des constantes.

1° Ce que j'appelle les systèmes O de l'espace à trois dimensions applicables sur un système de l'espace à sijc dimensions. Je ramène le problème à la recherche des ^j^^tèmes opposés dans l'espace à trois dimensions, c'est-à-dire à la recherche des systèmes triple-orthogonaux qui se correspondent de telle sorte que les '^n^ (de M. Darboux) de l'un soient égaux aux ^i^i de l'autre.

J'ai indiqué les principales propriétés de ces systèmes dans une Communication que j'ai faite au Congrès d'Heidelberg.

Ces systèmes comprennent, comme cas particulier, des systèmes qui ont été signalés, d'une façon très brève, par- Ribeaucour dans son Mémoire Sur les surfaces courbes {Journal de Mathématiques, 1892).

Enfin, parmi les svstèmes de Ribeaucour, se trouvent les systèmes triple-orthogonaux qui sont engendrés par la translation d'une surface. Ces systèmes ont été étudiés })ar MM. Lucien Lévy et Petot.