SYSTÈMES POINTS, SYSTÈMES DROITES, SYSTÈMES PLANS

1. Systèmes points. — Soient ^•', ^-, ..., .x"- les coordonnées d'un point M dans l'espace à n dimensions; supposons que ces coordonnées soient des fonctions de trois variables «1, Uz, if^] nous dirons que le point M décrit un système point lorsque, l'une quelconque des variables restant fixe, le système doublement indéterminé décrit par le point M est un réseau. [Voir mon Mémoire 5^//' les systèmes cycliques et sur les systèmes ortJioî^onaux {Annales de V Ecole Normale, 1897, 1898 et 1902)]. Il en résulte que les fonctions ^*, <r-, ..., x^^ sont solutions communes à trois équations aux. dérivées partielles de la forme suivante :

ô^x ôx . ^^^

dU2(JUi ' ()Ui

'hiz

<"^ =|.,"-^-^Q., du3 dui ' OU;i

à'- __ p àx

ôx

Ou, ou, ' Ou, ' '^'

Ou.,

OÙ les quantités P et Q sont des fonctions de //j, u,, u.^.

2. Paramètres normaux. — Soient MT,, MT,, iMT, les tangentes aux courbes décrites parle point M quand chacune des variables w, ou u.2 ou U3 varie seule. Désignons par ;j, çj, . . ., c'I les paramètres directeurs de MT, ; par ç',, ti, . • ., k'î ceux de MT, ; enfin par ^5, c^, . ., ;" ceux de MT3. Si f/3 reste fixe, le point M décrit un réseau ayant pour tan-

gentes MT,, MT2; d en résulte que — est une fonction linéaire et homogène de ç\ et ^f, ; de sorte que l'on a, quel que soit l'indice «,

On obtient d'autres relations analogues en considérant les