SYSTÈMES QUI SE RATTACIIKNT AUX SYSTEMES O

30. Systèmes /.», O. — Un point M de l'espace à n dimensions décrit un systènie p, O lorsqu'il peut être considéré comme la projection d'un système O de l'espace à n-hp — i dimensions ; si donc ^,, .x^, . . ., x,i sont les coordonnées de M, les équations de Laplace auxquelles satisfont ces n coordonnées devront admettre, en outre, p — i solutions yj, y^, . . ., Vp-i telles que

( I ) :ù dx'- -\- ^ dy^- = h\ du \ + /« | dii\ + hl du] ,

les fonctions Aj, h,, /frétant toutes différentes de zéro; yii y-2y. ' ' -y fp-i ^^"'^ '^^ coordonnées complémentaires du réseau.

31. Systèmes N, /?N. — Un système point est appelé système N (nul) quand son ds'^ est égal à zéro; si donc .r^, .T,, . . ., J^n sont les coordonnées du point qui décrit le système, on devra avoir

(2) S dx-= o.

Nous supposerons, de plus, qu'il n'existe pas de singularité d'ordre plus élevé, c'est-à-dire que

li-^j^"' iife;^"' liô^)^"-

Nous avons formé de pareils systèmes ( n° 29); il résultera de ce qui va suivre que tous ces systèmes peuvent être obtenus par la méthode indiquée; de tels systèmes ne peuvent exister que si n ^9.

Un système point de Tespace à n dimensions est dit un système yy,N quand on peut le considérer comme étant la projection d'un système N de l'espace à n -+- p — i dimensions; si .JCi, .^2, . . ., jc,i sont les coordonnées du point décrivant, les équations de Laplace auxquelles satisfont les coor-

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données admettent/) — i solutions y^ jj, ..., j,,, telles que (4; :£. dT-—:L dy-=z o

et Ton aura, en outre,

(5- yjp,Y+yr9^y^o (^=,,.,3)

mj-m)'"

fi, y-2, . . ., Vp-i sont les coordonnées complémentaires du système /?,]\.

32. Systèmes droites I./^l. — Un système de droites D est appelé 1 si la somme des carrés des paramètres directeurs (Xi. . . ., X„) de la droite I) est nulle. On suppose, de plus, qu'il n'existe pas de singularités d'ordre plus élevé. On a donc

Les normales isotropes d'un système O (n° 27) forment un système 1; nous verrons que tous les systèmes I peuvent être formés ainsi; ces systèmes ne peuvent exister que si n^o.

Le système droite sera dit p,l, s'il peut être formé par la projection d'un système I de l'espace à n -i- p — i dimensions; les équations de Laplace dont les quantités X sont solutions admettent en outre /^ — i solutions Vj, ..., Yp, telles que

Yi, Y,, ..., ^ p-i sont les paramètres complémentaires du système /?,L

Ln particulier, les normales ordinaires (n'^^T) d'un système O décrivent des systèmes 2I; et l'on obtient ainsi tous les systèmes 2I.

33. Systèmes droites C, pC. — Soient X,, X^, ..., X„ les paramètres d'une droite qui décrit un système; ces paramètres sont solutions des équations (8) (Cliap. I); cela posé, nous dirons que le système droite est C si l'on a

(8) i:X2=:HfUf^H|lJ?+H]U^

SYSTÈMES QUI SK RATTACIIKNT AUX SVSTlÎMKS O. 45

U,, U.2, U3 étant respertivement des fonctions de ti^ seul, de U2 et de «3 seuls; ces fonctions ne se réduisent jamais à zéro. On voit facilement que cette condition (8) est indépendante du facteur par lequel on peut multiplier tous les paramètres X,, X2, . . ., X„ de la droite.

Le système droite sera dit/?,C, si les équations (8) (Chap. I) admettent /7 — i solutions Y,, ..., Y^i telles que

vx2^ vY>= ir^uf 4-111 U2 + 112 ui