SYSTÈMES QUI SE IIVTTACHKM" AUX SYSTÈMES O
(/y,^, /•) correspond un point appartenant au type {p',q',f') et Ton a
p -\- p = cj -h f/ — r-{- r = n — \
A une droite appartenant au type {p, 7, /) correspond un plan appartenant au type {p\ 7', /') et inversement, et l'on a
^° Espaces d'ordre 3/i -f- i.
A un plan du type (/>, q, /') correspond un plan du type {p', q', r' ) et Ton a
A un point du type (/>, y, /) correspond une droite du type (/>', q', /•') et l on a
3° Espace d'ordre 3/^ -H ?..
A une droite du type (/>, q, r) correspond une droite du type (/?', q' , r') et l'on a
A un point du type {p, </» '") correspond un plan du type (/?', </', /•') et inversement, et l'on a
Propriétés focales. — Les propriétés focales sont données par les Tableaux suivants :
,r.Q. . ^ , \ 1"= droite focale (/?, 7 -h I, /■ + i),
38) point {p,q,r) ,.,. , . ,,
^ ' ( i" plan focal (/> -f- I, q, r);
., s 1 • , N i i*""^ point focal ( p, q — i, /• — i »,
(3q) droite (/?, r/, /•) '. ^ . , ' ' '
^'^ ^^' ^' ^ ( i-plau focal (/>-!, q,r)-
(4o) plan (/;, <7, /')
\ I*' |)oint focal {p — i, q. ;•),
( i"" <lroile focale {p -\- i, q^ r). Propriétés des systèmes asseiïihlés. — Ces propriétés sont
JG CHAPITRE M.
données par les Tableaux suivants :
, , . , , \ droite assemblée (p -I- I, r/ — I, /' -h I),
(4i) point (p. q. r) \ i i- /
i plan assemble (/?, ^, /• );
, ^ , . , , i point assemblé (p — i,^/— i,/- — i ),
(.■2) droite (p, g, r) ] \ ,,. /' '/ ^'
^ / plan assemble (p, q, /•);
, ,.. , , . , i point assemblé (/?, <7, /-),
(li) plan (p, q, r) { \ . ,,,
^ ^ ' vy . y, ; ^ droite assemblée (p, </, r).
Pour terminer, nous indiquerons l'espace d'ordre minimum, dans lequel peut exister un système {p, q, r) : cet espace d'ordre minimum n est donné par les formules
(44) point (p,q,r), n = -lip -^q -^ /•)-{- ^^
(45) droite (/?, <7, ;-j, ,i ±= nip -\- q ^ r ) — i,
(46) plan (p, q, r), n = i(p -r- q -{- i) -^ i.
Ainsi, par exemple, un système N qui est (i, i, i) ne peut pas exister dans un espace de moins de neuf dimensions; un sjslème R qui est (r, i, i) n'eviste pas dans un espace qui a moins de sept dimensions, enfin un système 1 qui est(i, i. i) n'existe pas dans un espace de moins de cinq dimensions.
45. Remarques. — • Les systèmes singuliers appartenant au type {p, q, r) ne sont définis que si les nombres/», q, / sont des entiers positifs ou nuls; les propriétés qui précèdent permettent de les définir quand un ou plusieurs des nombres p, q, r sont des entiers négatifs.
Enfin, il importe de remarquer qu'un même système peut appartenir à deux types difTérents ; nous en indiquerons des exemples plus loin.
II importe maintenant d'indiquer les principales proj)riété£ des systèmes définis dans les espaces d'ordre 3, 4? 5 et 6.
46. Espace à trois dimensions. — Dans un espace à trois dimensions il existe des systèmes O et, a fortiori, des systèmes pO] parmi les systèmes du type/?,N, il n'en existe que si /> = 7; les systèmes p.C existent quel que soit p; les systèmes p,l ne peuvent exister que si /? ^ 3 ; les systèmes p,J que si pl<^\ les systèmes y^ 12 existent quel que soit /.); les systèmes p,\\ ne peuvent exister que si/) ^5. Cela posé, à un système O, la loi d'ortliogonalité des éléments fait correspondre un système O; à un système /;,0 correspond un système /?,0; à un système 31, un système 12; d'une manière plus générale, à un système /?! un système {p — 2)12; à un
SYSTÈMES QLl SK IIATTACIIRXT MX SVSTIC.MCS O. ly
sysl(''me/>C, un svslrine/?, li. l^es 'ral)leaux suivanls indiquent les propriétés des systènties assennblés :
Syslèines asscmhlt'-s
l'Ians Droites.
Points.
Points.
Di'oiies.
Plans.
[ 6R Plans.
Autres,
yof'--. . .
Autres.
•>. il 3t>
p-l, il
p — l, il
pil
Plans assembles.
Autres. . . 7R
l'oints assemblés.
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' Autres. . . 4O
Points assen)i)lés.
Autres, ^' . . . .
Autres. . .
Points asse
mblés.
Autres. . .
oc-
