CHAPITRE I
autres réseaux décrits par M; de sorte que Ion arrive à des relations de la forme suivante :
ait, ' '-^- ^'^-V ,)u, ^^^'-* ^^•^'^- oii^ f ^ -/>i:K3~7i3Çi, ~ =P2i;i-g-nZi. ^ =/>32:24-732;3.
(Dans les deux membres de chaque équation A, il faut mettre le même indice supérieur; cet indice, qui est Tun ([uelconque des nombres i. 2, ..., /?, a été supprimé pour simplifier l'écriture. )
En écrivant que les deux valeurs de " ^' déduites des
équations A sont identiques, on obtient des relations parmi lesquelles je signale la suivante :
(Ju:i Oit. 2
On en déduit facilement que Ton peut multiplier tous les paramètres ç^ par un même facteur a de façon à faire disparaître, dans les équations A, les termes ^,2 et q^^; À est déterminé, à un facteur prés, qui est une fonction de ^/, seul. On voit, de même, que l'on peut multiplier tous les paramètres ^2 par "» même facteur de façon à faire disparaître les coefficients q^zy 9i\\ enfin, en multipliant les paramètres ^3 par un facteur convenablement choisi, on pourra faire disparaître les coefficients q.^^ et q^^.
Les paramètres ainsi déterminés sont les paramètres normaux des tangentes au système point M. Les paramètres normaux Çj sont déterminés à un facteur près Uj, fonction de u^ seul; de même c., et Ç3 sont déterminés respectivement à un facteur près, fonction de 11^ pour les ?, et fonction de ii-i pour les ;i. Dorénavant, nous introduirons toujours les paramètres normaux.
Avec ces paramètres, on a les formules suivantes :
oit i
= ?HÇ1,
oh
Otl.
Ces formules sonl de la forme
SYSTlîMIiS POINTS, SYSTEMES DHOITKS, SVSTKMES PLANS. 7
!mi écrivant que les équations (i) ?ont compatibles, on lionve que les quantités p,), doivent satisfaire aux équations
formules qui rentrent dans le type
diii ' ' Les fonctions ;, satisfont aux trois équations suivantes :
' Oi(] Ou,. pi3 uiii aii-i
OUl OU;^ l^i, Ôl(;i OU-i ^13 OU2 Oli-i
La première de ces équations admet comme solution Sjg. la deuxième |3,2. On formerait de même les équations qui ont pour solutions ^2 ^^^ ^3- ( Voir Dakbolx, Leçons, IV'^ Partie.)
3. Détermination du système point. — Soient toujours Jt'. j?-, .... x" les coordonnées du point M (|ue décrit
I • ' '^Jc^ • 11
le svsteme; les quantités- — sont proportionnelles aux quanta.?"' tités ç' paramètres de MT,. On voit, de même, que les— —
et les — - sont respectivement proportionnels aux ;'^, et
aux ^;j. On aura donc (en supprimant toujours les indices supérieurs pour sim[)lirier l'écriture)
(Lr , . àr , ^ ùx , y
OUi Ouo On 2
Ecrivant que les équations (4) sont compatibles, on trouvera, en tenant compte des formules (i),
; Ohi Q 0/ti 0/i:i ,^
] ()n.i On i Oui
1 '^^'> 0 . àh, ^^ ùh, o .
' 0/{:i ' OUx Ollo
^> CllAl'ITnii I.
formules qui rentrent dans le type
Des formules (4), on déduit facilement que û:K r-, ..., œ" sont solutions du système
Les équations (5) permettent de calculer les quantités ^,/, à l'aide de ^j, //o, /iz\ si l'on porte ces valeurs des (3,ytdans les équations (2), on trouvera seulement trois équations distinctes pour A,, A,, /i^. Ce sont les é(|uations
dx I
dx
àU-i (JU;i
/lo Ou 3
OU2 ' lii
Ou.2
r O/i:^ ~ It-i Oui
Ou-i /il
0/ii Ou-i
Ox
àUi ÔLlx
Oui
/il OU2
Or I Oui /t. 2
Oui
Ox
<Jui On. 2
Oi /i i
0/ïi
O/ii
Ou.2 Ou^
Ou-i
Ou.2
"^ /ij Ou.2
Ou-i
Oui
Ou-i
I O/ii /il Oui
OU3 Oui
Oui'
O/ii
OUi 011-2
Ou,
Oui
/1.2 Oui
Ou.2
Les équalions (7) sont celles qui expriment que le système (6) admet des solutions qui dépendent de trois fonctions arbitraires d'une variable. On obtient ces équations (7) en exprimant que la première des équations (6) admet la solution /l^, la seconde la solution h.2, la troisième la solution ^3.
4. Systèmes points parallèles. — Deux systèmes points sont parallèles, loisque les tangentes correspondantes sont parallèles. Pour deuv systèmes points parallèles, les 3 n quantités c'k sont les mêmes; il en résulte que les six fonctions fi/;;. sont aussi les mêmes; mais les fonctions /^i, //o, /13 ne sont pas les mêmes.
5. Systèmes plans. Systèmes droites. — Un système droite est formé par l'une quelconque des tangentes à un système point. Ainsi la droite M,T, (n« 2) décrit un système droite ; si l'une des variables //,, a.2, a^ reste fixe, la droite MT,
SYSTEMKS POINTS, SYSTEMES DHOITKS, SVSTliMES PLANS. ()
décrit une congruence; si deux dt; ces variables restent fixes, la droite reste tangente à une combe.
Les paramètres ;|, ^f, . . . , ^',' de MTi satisfont aux équations (3); en multipliant ces j)aramètres j)ar un mênne facteur, on arrive au résultat suivant :
Les paramètres directeurs Xj, Xg, . . ., X„ d'une droite qui décrit un système satisfont aux trois équations
ôu^du^ H2 ôu^ Ouj H3 âu-î Oii^ '
* Ou^àui II3 Oiii ôu.i \\i àii;i ()ui '' '
()2X I ()Hi c)X 1 ô\\.> â\ ,^ ..
diixàu-i \\\ àiiy âui Ho àui Ou^
Un système plan est le système décrit par le plan formé par deux tangentes d'un système point. Ainsi le plan T1MT2 (n« 2) décrit un système plan.
