CHAPITRE VII

55. Systèmes O, .\0, espace à six. — Soit M(.r,, ...,^c) un point (jui décrit un système O, 40 clans l'espace à six; ce système est associé à un système M'(jj, j',, ^3) ; de sorte que M' est O, 7O.

Plaçons-nous d'abord dans Tespace à six; les systèmes G, 40 correspondent par orthogonalité aux systèmes 4N, 7 N ; des systèmes O, 4O on déduit les systèmes I, 61 puis 31, 41; de ces derniers on déduit des 2O, 30; puis des 2I, 51; en tenant compte, en outre, de la loi d'orthogonalitè des éléments, on forme le Tableau suivant qui contient les systèmes équivalents aux systèmes O, 40 :

Espace à six,

O, 4O; 2O, 30; 4^,7^; 5N, 6N; I, 61; al, 31; 31, 4I; o.n, 7K; 3R, 6R; 4 R, jR; Q, 2Q; GJ, 7J.

Ce Tableau permet d'introduire des éléments de Fespace à cinq; ainsi aux systèmes I, 61 de l'espace à six, correspond immédiatement un système I, 7I dans l'espace à cinq; on en déduit les autres éléments et Ton forme le Tableau suivant ;

Espace à cinq,

I, 7I; 31, -,1: o, ->0; 30, 30; 3R, 7R; 3R, 5R; Q, 30; C, C; jJ, 7J.

Dans l'un et l'autre de ces Tableaux on peut tirer des éléments de l'espace à quatre; ainsi aux 2I, 51 de l'espace à six correspondent les 2I, 7I de l'espace à quatre; aux O, 50 de l'espace à cinq les O, 60 de l'espace à quatre. On en déduit les autres éléments équivalents et l'on a le Tableau suivant :

Espace à quatre,

O, 60; 2O, 50; 30, 4O; 2I, 7I; 31, 61; 4 1, 51; Q, 40; 20, 3Q; 4R, 7R; 5R, 6R; C, 2G; G-\, jN.

Enfin des systèmes O, 7O, espace à trois, on déduit le Tableau suivant :

Espace à trois,

Ces quatre Tableaux mettent en évidence les diverses transformations du problème.

INDICATION I)K DIVKHS TVPKS I)K I>IU)HL|":MI:S. 69

Cas pailiculicrs. — En dehors des cas particuliers signalés dans le cas de l'espace à ((iiatie il y a lieu de sif^naler les suivants :

1° Si U, se réduit à l'unité, on peut avoir, outre; les équations

l'équation

c'est-à-dire que le système M appartient aussi au type (3, o, o).

2° U,, U2, U3 peuvent se réduire à des constantes égales; en ramenant ces constantes à l'unité on voit que les systèmes M et M' sont applicables. Nous étudierons ce système dans le dernier Chapitre de ce Mémoire.

56. Remarques. — Si l'on veut traiter analytiquement chacun des problèmes que nous venons d'indiquer on trouve toujours un nombre d'équations supérieur au nombre des fonctions inconnues. Il faut donc appliquer les méthodes de M. Kiquier pour reconnaître s'il existe des solutions et pour savoir dans ce cas le degré de généralité du problème. Il nous est impossible de traiter tous les problèmes indiqués^ je me bornerai à dire que tous les types sii;nalés existent; je traiterai seulement deux de ces problèmes : i° les systèmes O, f\0 dans l'espace à trois dimensions; 2*^ les systèmes O de l'espace à si\ applicables sur un système O de l'espace à trois.