CHAPITRE IL

PUOPRIETKS FOCALES.

6. Propriétés des tangentes à un système point. — Soienl M un système point, MX, la tangente à la courbe décrite par M quand i/^ varie seul. Par définition, quand la variable iii variera seule, MTj enveloppe une courbe; nous

Fig.

allons démontrer qu'il en est de même pour les variables //., et W3.

En effet, soit A {y\ y-, . . . , j") un point de la droite JVITi ; ses coordonnées sont de la forme

r = .ri^pl{

ou, en supprimant l'indice supérieur, pour simplifier l'écriture, comme nous le ferons toujours dorénavant,

y = x-\- Pçi.

PROPlUiriKS FOCALES. I I

Difl^érenLi(His la formule (i) [)ar rapport à u.,^ on trouve, en tenant compte des formules du Chapitre I,

ùu-i àii-i '

On voit que, si Ton détermine p par ré([uation

( •>. I /'2-T- p|iil2 = O, ■

le poiiil V décrira, quand u-i varie seul, une courbe tangente à MT, ; on voit de même qu'il existe sur iMTi un point H qui, lorsque «3 varie seul, décrit une courbe tangente à MTi.-

Nous désignerons de même par C et D les points ofi MT.^ touche son enveloppe quand ii.^ ou a^ respectivement varient seuls; enfin par E et F les points où MT3 touche une enveloppe quand u^ ou u-^ respectivement varient seuls {fig. i).

Nous allons démontrer que tous les points A, B, C, D, E, F décrivent des systèmes points.

7. Transformation de Laplace. — Considérons, en particulier, le point A; cherchons les paramètres des tangentes au\ courbes décrites par A quand chacune des variables «1, //.25 /':} varie seule. Pour la variable ^2 ces paramètres sont proportionnels aux quantités Çj ; pour avoir les autres paramètres, dilTérentions l'équation (i) par rapport à /^, et à ^^3; on trouve, en tenant compte des formules du Chapitre 1,

i dyx y oç> . , , ,

D'autre j)art, l'équation (2) donne, en difTérentiant par rapport à u^ et à u-^,

hï^ /i:j -H p!î|3 ) -+- [^12 4^ = O.

En tenant compte des formules (3) et (4)!, on voit que les paramètres directeurs des tangentes aux courbes décrites par A sont proportionnels, lorsque a^ varie seul, aux quan-

tités

CIIAI'ITIU!: 11.

du.

et, lorsque f/3 varie seul, aux. quanlilés

Pour vérifier que le point A décrit un système, il suffit de montrer qu'on peut multiplier chacune des séries de paramètres directeurs que nous venons d'obtenir par un facteur convenable de façon à avoir des paramètres normaux (2). On trouve facilement ces multiplicateurs et l'on voit qu'on peut prendre comme paramètres normaux.