Problèmes équivalents dans les espaces d'ordre

4, 5, 6. — Pillions des deux déterminants ( ) opposés A et A' (n" 61); on pourra former un déterminant O de l'espace à six, pour lequel les p,/. sont les mêmes que ceux de A, les autres rotations (n° 2'*) ayant les valeurs suivantes :

<22) -^i = :^;y, b.= ix^^, 0,= y.^i,

LES SYSTIÎMKS O l)K l'iISPACI-: A THOIS DIMENSIONS. 85

[x (Uanl une constante ([tielcon(|ue: soit D ce rlélermlnanl; à clia(|ue système () appartenant à A conespond un système O applicable appartenant à D; comme on peut faire varier la constante [x on a le résultat suivant :

Si lin système G de l'espace à trois diniensions est applicable sur un système de l'espace à six , il sera applicable sur une infinité de pareils systèmes.

Ces systèmes O de l'espace à six applicables sur l'espace à trois sont des systènnes O, /iN; ils correspondent par ortliogonalitè des éléments à des systèmes analogues; ce sont ceux (|ue l'on formerait avec le déterminant A'.

A cha(jue système O, 4N sont assemblées oo^ droites qui sont I, 6J, au\([uelles correspondent, par ortliogonalité des éléments, des plans rîR, il. On passe inversement de ces systèmes aux O, 40. On a donc les systèmes é({uivalents suivants :

Espace à six,

o,4N, [, (iJ, (2, i\\.

Soient D(X,, . . ., Xg) une droite qui décrit un système 1, 6J; Yi, . . . , Y5 les paramètres complémentaires pour être 6 J, on a

0 = SX2 = — VY2,

Il en résulte ([ue la droite A qui a pour paramètres Y,, . . ., ^5 décrit dans l'espace à cinq un système I, 7J; comme une droite I se correspond à elle-même par ortliogonalité des éléments, on voit que le système décrit par A est I, 7J et G. En coupant A par un plan isotrope, on obtient dans l'espace à trois les systèmes O pour lesquels h\ -t- 1i\ -h li\ = o.

Des systèmes 1, 7J on déduit les systèmes o,5N; puis 3 H, ii; on a donc dans l'espace à cinq les systèmes :

Espace à cinq,

Les systèmes O, 5N sont des systèmes O de l'espace à cinq applicables sur un système de l'espace à (juatre. Ces derniers sont des systèmes O, 6i\; il y. correspond par ortliogonalité des éléments des systèmes sîI, C; on en déduit des systèmiis 12, 4f^> On a donc le tableau d'éléments suivants :

Espace à (Quatre,