Ç3 — Ç3 — •,;— ?1 HI

|i,2 ou, ^'

Ces nouveaux paramètres satisfont aux équations

du/,

^//ib

où les [3^/. ont les valeurs suivantes :

Ou i

On aura ensuite

du,

KV\^

ou-.

PROPRIÉTÉS KOCALKS. l3

OÙ les quaulités ///, , A^, h\ ont les valeurs suivantes :

I /t2 Olli

' ~ f^^" Ou, ~ ^'' Ou. \'^ij ~ /^l Oui Ou. \hi OuJ

= Aa--^/'2=/'3-^2

àh:i

ôi7\

^12 - •• Ojli

dUy

Avec ces valeurs des quantités A', on pourra former les équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les (juantités y. Ces équations sont les analogues des équations (6) du Chapitre I.

Le passage du système point M, à l'un quelconque des systèmes points A, B, C, D, E, F constitue une transformation que, par analogie avec ce qui se passe dans le cas de deux indéterminées, M. Darboux a appelée une transformation de Laplace. {Leçons, IV*^ Partie, Chapitre XII.)

Pour distinguer ces diverses transformations nous dirons que le passage de M à A, par exemple, est une transformation de Laplace faite de ^^i vers a^.

8. Propriété de la transformation de Laplace. — Nous avons vu que les coordonnées du point A sont

ht .

on verrait de même que celles du point F sont

ht w

et, par conséquent, les paramètres directeurs AF sont proportionnels aux quantités y — z ou encore aux quantités

Il s'ensuit que, (n" 7), la droite AF est la tangente à la courbe décrite par A quand «3 varie seul; on voit de même que cette droite est tangente à la courbe décrite par F quand «1 varie seul.

Ce résultat peut s'énoncer ainsi :

Si Von fait trois transformations de Laplace en allant :

l4 • CHAPITUE II.

1° de Ui vers i/o ; 2" de u^ vers u^ ; 3'^ de u^ vers ù.^. on retombe sur le système p/i/futif (\^\\iBOV\, Leçons, loc. cit.).

11 est bien évident que le théorème subsiste si l'on place les variables //j, //o, ^^3 clans un ordre quelconque. On en déduit que la droite BC {/ig. i) est tangente à la courbe décrite par B quand lu varie seul et à la courbe décrite par G cjuand u^ varie seul; de uième, la droite ED est tangente à la courbe décrite par E quand u.^ varie seul et à la courbe décrite par D quand «3 varie seul.

Enfin les tangentes en A et B quand Uy varie seul se coupent en un point 11 {Jig. i) qui décrit un système point.

9. Éléments focaux d'un système point. — Par définition, les tanirentes d'un svstème point décrivent des svstèmes droites; ces systèmes droites sont appelés \e9> systèmes focaux du système point. La tangente au système point quand Uf^. varie seul est la A'^'"*" droite focale du système. Ainsi MT^, MTg, MT3 sont respectivement les première, deuxième, troisième droites focales du système M.

Par définition (n''5)le plan formé par. deux tangentes d'un système point décrit un système plan, qu'on appelle système focal du système point. Un système point a donc trois plans focaux: pour distinguer ces plans focaux, on leur donne un numéro d'ordre. Ainsi, s'il s'agit du système point M, les plans T2MT3, T3MT,, T1MT2 sont respectivement les premier, deuxième, troisième plans focaux de M.

10. Éléments focaux d'un système droite. — Considérons, par exemple, le système droite décrit par MTi [fig. i). Nous savons que, si Tune des variables «,, u.2, u.^ varie seule, la droite MTi enveloppe une courbe qu'elle touche respectivement en M, A, B. Ces points sont les points focaux de la droite; les systèmes décrits par ces points sont les systèmes focaux du système droite MT, ; M est le premier point focal, A le deuxième, B le troisième de la droite MTj.

De uiême les plans ABU, MBC, MAP qui passent par MT^ décrivent des systèmes phins qu'on appelle les svstèmes focaux de xMTj ; ABU est le premier y^/rt/i focal de MTj, -MBC le deuxième; MAP le troisième.

11. Éléments focaux d'un système plan. — Considérons, en particulier, le phui T,.MT.,. on \oit facilement ([ue si //, varie seul ce plan a une caractéristique (tlans l'espace à trois

l'UOPUlETKS FOCALKS.

dimensions un plan a toujours une caractéristique, il n'en est pas de même dans les espaces d'ordre supérieur) qui est Aie ; de même quand «, ^^^^ '^3 varient seuls les caractéristiques du plan sont respectivement MH et BC ; les caractéristiques décrivent des systèmes droites qui sont les systèmes focaux du plan TiMÏ^; MG est la première droite focale de ce plan, MB la deuxième et BG la troisième.

Si «1 reste fixe le plan enveloppe un réseau, c'est le réseau décrit par B ; de même si u^ ou u.^ restent fixes le plan enveloppe le* réseau G ou le réseau M. Ges points B, G, iM sont les points focaux du plan; B est le premier point focal, G le second et M le troisième.

12. Loi de parallélisme des éléments. — Nous avons déjà défini ( n" h) ce qu'il faut entendre par système points parallèles. Nous dirons, de plus, ((ue deux systèmes correspondants de droites sont parallèles lorsque les droites correspondantes qui les décrivent sont parallèles; on définirait de même les systèmes plans parallèles.

11 résulte facilement de tout ce qui précède le théorème suivant, qui forme la première partie de la loi de parallélisme des éléments : si deux systèmes {^^omls^ droite ou plan) sont parallèles, les systèmes focaux correspondants sont parallèles.