DE CERTAINS GROUPES

23. Considérons, dans la multiplicité ^4, Xa, . . ., x,i, n expressions de Pfaff (i) liidx)=z'^lij{Xi, ^j, ,.,,Xn)dxj {i,j = i, 2, ..., n).

Nous supposerons que ces expressions considérées comme formes linéaires des difTérentielies dxj sont linéairement indépendantes. On peut alors résoudre les relations (i) par rapport aux différentielles dxj et, par suite, exprimer la différentielle df d'une fonction quelconque des variables x en fonction linéaire et homogène des l{dx)y et cela d'une seule façon. Soit

(2) df='^li{dx)Ai/.

Les A// sont des formes linéaires indépendantes des dérivées de/; nous les considérerons comme les symboles de n transformations infinitésimales ainsi ASSOCIÉES aux expressions de Pfaff données.

Inversement, on peut se donner à l'avance n transformations infinitésimales, dont les symboles soient des formes linéaires indépendantes des dérivées de/, et leur associer, par la relation (2), n expressions de Pfaff //(rfj?).

Il est bien évident que deux systèmes associés d'expressions de Pfaff et de transformations infinitésimales restent associés après un changement de variables quelconque.

Nous ferons deux applications particulières de cette remarque.

En premier lieu, nous compléterons une proposition établie à la fin du Chapitre II (n® 13). Nous avons démontré, à cet endroit, que la transformation de passage d'une variété x^ ds^^ en une autre x\ ds'^^ devrait satisfaire à un système d'équations aux différentielles totales de la forme

(3) li{dx)=^ l'i{dx') (f = I, 2, . . ., «),

que l'on obtient par des opérations algébriques et des dérivations. Désignons par/ et y deux fonctions dépendant la première des variables x^ la seconde des variables x''y supposons que y et y"' se correspondent par la transformation de passage. Soient A// et A'^f les systèmes d'expressions de Pfaff associés respectivement aux li(dx) et aux l'-(dx'). La transformation de passage doit satisfaire au système d'équations linéaires aux dérivées partielles

équivalent au système (3). On remarque bien, comme nous l'avions annoncé, que le système (4) est symétrique par rapport aux deux variétés. On compléterait l'étude du système (4) comme dans le cas de trois variables.

Imaginons, en second lieu, que nous ayons un changement de variables transformant en elles-mêmes les expressions de Pfaff : il transformera aussi en elles-mêmes les transformations infinitésimales associées. Si le changement C. 5

de variables correspond à une transformation infinitésimale d'un groupe à un paramètre, la proposition précédente prend une forme intéressante, que nous allons établir analyliquement au numéro suivant.