Soit ( I ) ds^ =z^^aij dxi dxjy
le ds^ d'une variété à n dimensions. Effectuons le changement de variables
nous obtenons
(3) ds'^=^a'ijdx\dx'j.
Les équations donnant l'expression des a en fonction des adjointes aux formules (a) donnent les équations d'un groupe G. Nous appellerons invariants du ds^ les invariants différentiels de G.
Considérons maintenant des fonctions Ua des variables Xj se transformant en U^ par la substitution (2 ). Les équations
(4) Ua = U;,
ajoutées aux équations de G, forment les équations d'un groupe K. On appelle paramètres différentiels du ds^ ceux des invariants de K qui contiennent effectivement les dérivées des fonctions U. On peut aussi considérer les paramètres différentiels comme des opérations invariantes permettant de déduire de tout invariant de ds^ un invariant nouveau.
Désignons par rfa différents symboles de différentiation que nous distinguerons par leurs indices a(a=i, 2, ..., r). En adjoignant aux équations de G les équations
(5) daXiZ=^ .^d^a], (a = 1,2, ,..,/*; i,p — 1,2, ...,«),
dx
nous obtenons les équations d'un groupe G^*^ On appelle cos^ariants du ds^ les invariants de G^*^ contenant effectivement les différentielles.
En adjoignant à ds^ des formes F/(x, dx) des différentielles des variables ;r,
(*) Tresse, Acta mathematica^ t. XVIII, p. i; 1894.
formes dont les coefficients sont fonctions des Xj on définirait d'une manière analogue les covariants de l^ ensemble ds^Fi.
3. ChristofTel (*) a montré que les covariants d'un ds'^ se déduisent de l'un d'entre eux que l'on obtient de la façon suivante. Soit À le discriminant du ds^ (i); Aiy le coefficient deaiy dans A. Nous poserons
L /r J 2\dXh, dxg dxkj
les lettres i, h, gj k^ /, r représentent des indices inférieurs ou égaux à /i, d'ailleurs quelconques. Nous utiliserons également les symboles à quatre indices
(8) igk, hi) = i (Jl^ + /^ - ^^ - -^1^\
*3L\oxhdxfi oxgdxi oxiOXiç ôxgdxij
r-^\mm-[^^m
Le premier covariant du ds^ est alors
(9) G4 = \^ {gk^hi){dxgàxk — dXfgàXg){Dxh^xi~l^Xi^Xh)
{gk)[hi)
comprenant quatre systèmes de différentielles, d^ S, D, A. La sommation s'étend, pour ^Ar comme pourAt; aux combinaisons sans répétition des indices i, 2, ..., n pris deux à deux.
Chris tofFel (^) a donné une méthode régulière permettant de déduire de ds^ et de G4 toute une série de covariants
(10) ds^j G4, Gg, ..., Gp, Gp-n, ....
Chacun d'eux se détermine à partir du précédent de la façon suivante. Soit
ij, ..., ly
(*) Christofpel, Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten grades {Journal de C relie, t. 70, p. 46). Les notations employées ici sont, à très peu près, celles de ChristofTel.
(*) Mémoire cité, p. 56.
un covariant dépendant de/? systèmes de diflFérentielles dt, d2^ . . . , dp. Les relations
(12) {ly 11, ..., lp)= ^^
— ^ M ^ J (^> 'î» MM 'p) H" I ^ i ihf ^f hf •••> h) "^••' r
définissent, à partir des coefficients (/, /|, ..., ip) de G^, les coefficients du covariant
(i3) Gp-i-i= 2 {iyixy , . .yip)dXid^Xi^.., dpXi^
dépendant de p -\- i systèmes difiPérents de différentielles d^ âf| , • • • , dp.
Il est bien évident que les invariants absolus (*) des formes ds^j G4, ..., Gp ... considérées comme fonctions des différentielles sont des invariants de ds^.
Considérons, par exemple, la forme de différentielles suivante, covariant de ds^
\^ a/y dxi Dxj \^ a/y dxi \x^
