II V
2 «ly dxi Da^j 2 «'V ^^' ^^/
qui est, comme G4, une forme bilinéaîre des binômes dxghxk — dxk^Xg et T^Xh^oCi — T^Xi^Xh' Considérons la forme aF-|- G4; c'est une forme bilinéaire des mêmes binômes (^). Égalons à zéro le discriminant de cette forme; les racines de Téquation en X obtenue sont des invariants du ds^. On les appelle quelquefois invariants principaux de la variété correspondante.
On trouvera des détails plus complets sur les invariants d'un ds^ dans les Mémoires de M. Ricci (').
4. On a vu le procédé par lequel Christoffel a obtenu la suite des co variants successifs d'une variété. Comme Ta montré M. Ricci (*), on obtient d'une façon
(1) Ce mot est ici employé dans le sens qu^ii'a dans la théorie des formes.
{^) Le quotient — - -^ représente la courbure de la variété au point considéré, telle que
l'a définie Riemann.
(') Ricci, Résumé de quelques travaux.., {Bulletin des Sciences mathématiques^ 2* série, t. XVI; 1892).
(*) Voir la note précédente. Les locutions de M. Ricci : dérivation covariante ou contrevariante. . . ne nous ont pas paru indispensables pour le présent travail.
tout à fait analogue les covariants du système formé en adjoignant à ds^ une ou plusieurs fonctions des variables x et de leurs différentielles.
Ainsi, en adjoignant à ds^ une seule fonction U des variables Xj et remplaçant
dans les formules (i i) et (12) Gp par la différentielle rfU et, par suite, les coef-
(icients (£4, l'a? •••7 ip) P^** ;3 — P on obtient un covariant bilinéaire de l'ensemble ds^, U. Ce covariant bilinéaire est la forme polaire du covariant quadratique équivalent
(i4) ?(U> dx) = V UrsdXrdXi
rs
OÙ
M. Ricci a montré que les invariants simultanés des formes dV et ds^ d'une part, <f (U, dx), ds^ d'autre part, donnaient précisément les paramètres différentiels de M. Beltrami (*). Nous utiliserons surtout le paramètre différentiel du premier ordre d'une fonction U
et le paramètre différentiel mixte de deux fonctions U et V (,6, i<„,v,=2^ig.
qui se déduit facilement du précédent.
De la même façon, une expression de Pfaff
l{dx) :=i^^li dXiy
donne un covariant bilinéaire
^{dxyix) =:^^lijdXidxj,
La somme ^(dx^ 8^) 4- ^(S:r, dx) donnerait une forme quadratique analogue
(») Pour ce qui concerne ce point, voir le Chapitre II de l'Ouvrage de M. Bianchi : Lezioni di Geometria differenziale.
lO É. COTTON.
à la précédente; la différence ^(dx^Bx) — ^(8ar, dx) donne le covariant bilinéaire bien connu de l'expression de Pfaff l{dx).
Si Ton adjoint à ds^ une forme quadratique de différentielles
( ï7) l{dx) =^ApqdXpdx^,
on obtient de même un covariant cubique
( 1 8 ) 2 Af,ij hxjt dxi àxj
à trois systèmes différents de différentielles, étudié par M. Bianchi à Tendroit précédemment cité. Nous utiliserons ce covariant dans la suite.
3. On peut simplifier les résultats précédents, lorsque le nombre des variables est deux, ou trois. S'il y a deux variables, G4 ne comporte qu'un seul terme. Le coefficient de ce terme est, avec les notations précédentes, (i 2, 1 2). Le quotient
donne la courbure totale du ds^ considéré. Les paramètres différentiels de la courbure totale donnent d'ailleurs tous les invariants utiles pour le problème de l'application des variétés à deux dimensions (*).
Dans le cas de trois variables, on peut remplacer Gji par un paramètre différentiel du premier ordre. Avant d'établir ce point, simplifions un peu les notations. Désignons par a et ^ deux indices que nous ferons correspondre aux combinaisons ik^ gh du n** 3, de façon que cLÎk et ^ gh soient des permutations positives des indices i, 2, 3. On peut ainsi, comme l'a fait Christoffel, substituer aux symboles à quatre indices (lA*, gh) une seule lettre affectée de deux coefficients. Nous prendrons
,(19) ^^oL^ — {ik,gh).
Christoffel (^) a montré qu'il revenait au même de dire que G4 est un covariant de ds^^ ou d'énoncer la proposition suivante :
Les deux formes quadratiques
(1) Darboux, Leçons sur la Théorie des surfaces, t, III, Livre VII, Ghap. II. (') Page 66 du Mémoire cité.
(U désigne une fonction arbitraire des variables) et A se reproduisent, par un changement de variables, multipliées par une même puissance du déterminant fonctionnel de la substitution.
Or le quotient -r^ est le paramètre différentiel AU de la fonction U. Nous pouvons de la même façon déduire un paramètre différentiel de F et dire : L' expression
est un paramètre différentiel de ds^.
On démontre facilement que si Ton remplace dans DU les dérivées -x — par les
âds^ expressions -^-j — on obtient un covariant quadratique de ds^. Ce covariant,
signalé par M. Ricci, peut également remplacer G».
