CHAPITRE II

6. On dit que deux variétés à n dimensions (*) ^, ds^\ x', ds'^^ sont applicables si Ton peut déterminer les x en fonction des x'^ de telle sorte que la substitution correspondante transforme ds^ en ds'^. On dit aussi que ds^ et ds'^ sont équivalents.

Pour reconnaître si deux variétés sont applicables il faut étudier le système S|

de — ^^ i équations du premier ordre

(0 2d^^^ d^,'dé^^'' (£,y,r, 5= 1,2, ..., n)

que doivent vérifier les x considérés comme fonctions des x^. Christoffel a montré que l'on peut donner aux équations obtenues par dérivation des équations (1) la

(1) Nous désignerons toujours par les mêmes lettres, accentuées ou non, les éléments homologues construits à partir des deux variétés.

forme simple

Égalant les diverses valeurs des dérivées troisièmes que l'on peut obtenir par dérivation des équations (2)^ nous obtenons de nouvelles équations que Ton peut réduire au premier ordre au moyen de (2). Aux équations du premier ordre ainsi obtenues ajoutons les équations (2), nous obtenons un système S». En dérivant S3, et ajoutant à S3 les équations obtenues réduites au premier ordre nous obtenons un système S4. Continuons ainsi, nous obtenons une suite de systèmes différentiels S^. Chacun de ces systèmes Sy, se déduit du précédent S^i en ajoutant à ^p^\ les équations que Ton obtient en dérivant une fois S^.i et tenant compte de (2).

On forme ainsi la suite des systèmes Sp, et l'on s'arrête :

1*" Si l'on rencontre un système d'équations algébriquement incompatible entre les x\ les x et leurs dérivées, il y a alors impossibilité ;

2^ Si les équations obtenues étant compatibles, en passant dUin système S^ au suivant S^^i, on n'ajoute aucune équation qui ne soit conséquence algébrique des précédentes. Le problème est olorspossiblCj sa solution dépend de

n^ -\- n — q constantes arbitraires, q désignant le nombre des relations indé-

» ni n *+- I ) pendantes comprises dans S^. Le nombre q est au moins égal à nombre

des équations (i).

La proposition précédente est une simple application des théorèmes généraux sur les systèmes différentiels dont la solution dépend d'un nombre fini de constantes arbitraires (*). On sait, d'ailleurs, que lorsque le problème est possible, on obtient la solution par l'intégration de systèmes complets. Nous montrerons, en effet, plus loin comment on peut substituer aux systèmes Sp, dans le cas de n =3, des systèmes d^ équations linéaires du premier ordre, où les deux variétés jouent un râle symétrique.

Ajoutons enfin qu'il résulte des calculs de Christoffel que les équations de S^ s'obtiennent en écrivant qu'une même substitution linéaire

( 3 ) dxi z=^ ^ dx'f,,

effectuée sur lés diverses différentielles des variables x, transforme ds^, G^, . . . , Gp i respectivement en ds'^, G\, . . ., G' ,.

(*) Lie-Engel, Transformations g ruppen y t. î, p. 179. — Bourlet, Annales de V Ecole Normale^ 3* série, t. VIII; 1891.

SUR LES VARIÉTÉS A TROIS DIMENSIONS. l3

7. On peut obtenir toutes les transformations de passage relatives à deux variétés applicables x. ds^\ af^ ds!^^ en combinant l'une d'entre elles avec les transformations de passage de l'une des variétés (x, ds^ par exemple) en ellemême. -Ces dernières forment un groupe fini admettant au plus (d'après le numéro

précédent) paramètres arbitraires. Ce nombre maximum est atteint

pour les variétés à courbure constante. On sait (*) que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une variété soit à courbure constante K est que le rapport

rr des formes définies au n® 3 soit égal à K. Si K est nul, la variété est dite

euclidienne. On voit aisément, d'après le n** 6, que deux variétés à même courbure constante sont applicables. Les sj^stèmes S^, se réduisent alors à. Sj, c'est-à-dire aux équations (i) et (2), et l'intégration des équations (i) et (2) se ramène à celle d'équations différentielles ordinaires.

8. Nous supposerons maintenant que les variétés données sont à trois dimensions et ne sont pas à courbure constante.

Soient/ et p deux fonctions des variables x^ f et p' ce qu'elles deviennent par la transformation de passage supposée possible. Considérons le paramètre différentiel du premier ordre A/ défini au n^ 4, et le paramètre différentiel D/ défini au n° 5 qui peut remplacer G4. Soient A'/', D'y les expressions correspondantes construites à partir de/*' et ds'^.

Les deux expressions

(4) e/=ipA/4-D/, e7'=:p'A'/-hD7'

doivent se transformer l'une dans l'autre par la transformation de passage, quels que soient p,y.

Nous pouvons considérer S/, 6'/' comme deux formes quadratiques ternaires; les variables de la première étant les dérivées de f^ celles de la seconde les dérivées de f. On doit passer des premières variables aux secondes par une substitution linéaire à déterminant non nul. Par suite, les racines de l'équation en p, obtenue en égalant à zéro le discriminant de %f^ doivent se transformer par la transformation de passage dans les racines de l'équation en p' relative à 0'/'. Egalons les fonctions symétriques homologues des racines des deux équations, nous obtenons des relations de la forme

(5) . ^-hiXxy Xly X^) -^llf^^X^y X^^X^).

Si ces relations sont incompatibles, l'application est impossible. Supposons

(*) LiPSGHiTZ, Analyse de six Mémoires^ etc. {Bulletin des Sciences mathématiques, \^ série, t. IV, p. i52; 1873.) Le résultat avait été indiqué d*abord par Rieinann.

l4 É. COTTON.

qu'il n'en soit pas ainsi, et établissons une correspondance ( *) entre les racines pi, P2» ps de la première équation et les racines p'^, po? pi ^^ l^i seconde, en ayant soin de vérifier que lies racines homologues se comportent de la même façon vis-à-vis des mineurs des discriminants de S et 6'.

Ces conditions remplies, nous pouvons ramener par les procédés connus (^) la forme O/à l'une des formes canoniques