V. (p - p.)[(L3/)' 4- 2L,/L,/] + (L,/)*, YI. (p-pi)A

Les expressions Li/, L2/, L3/ désignent des formes linéaires des dérivées de/ formes linéairement indépendantes.

Dans les cas I, H, IV les formes L/ sont déterminées (au signe près). Dans les cas II et V la détermination de ces formes peut se faire d'une infinité de manières. Enfin, dans le cas VI on a manifestement une variété du type spécial (•'*) de M. Lipschitz.

La forme S'/' donne lieu à une décomposition analogue, et les deux décompositions de ©/et de 0'/*' appartiennent nécessairement au même type canonique.

Ceci posé, nous examinerons successivement les trois hypothèses suivantes : i® La décomposition de 0/ appartient aux types I ou H ou IV; 2^ au type III ou au type V; 3** au type VI.

9. Dans la première hypothèse la transformation de passage doit satisfaire aux équations (5) et aux équations (^)

et réciproquement toute transformation satisfaisant à ces conditions est transfor-

(* ) Il peut y avoir plusieurs hypothèses possibles pour la correspondance entre les racines p et p', comme plus loin pour les signes à choisir pour les Lif, lorsque ceux-ci sont déterminés au signe près. On examine successivement les diverses hypothèses.

(') Darboux, Sur la théorie algébrique des formes quadratiques (Journal de Liouville, 2* série, t. XIX; 1874).

(^) LipsGHiTZ; Extrait de six Mé moites, etc. {Bulletin des Sciences mathématiques, t. IV, p. i52; 1873).

(*) Voir la note i.

raation de passage. On interprète les équations (6) de la façon suivante, en donnant aux symboles L// le nom de transformations infinitésimales : La transformation de passage transforme les transformations infinitésimales hif dans les transformations infinitésimales \^if'* La recherche de la transformation de passage est ainsi ramenée à un problème connu (*). Rappelons sommairement

la solution. Les relations

Lilh—h'tl'n

donneront de nouvelles relations de la forme (5) que Ton adjoindra aux relations (5). On appliquera encore les symboles L// aux invariants obtenus, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on n'obtienne par ce procédé aucun invariant I qui ne soit fonction des précédents. On formera ensuite les crochets

ce qui donnera de nouvelles relations de 1h forme (5), savoir

(7) lUks — lhks*

que Ton traitera comme les précédentes. On aura soin de s'assurer, au cours des calculs, que les relations de la forme (5) sont compatibles; dans le cas contraire le problème serait impossible. S'il n'en est pas ainsi, on arrivera au bout d'un nombre fini d^ opérations à un système de la forme

(8) J^ = Jy,,

comprenant r(r^3) équations indépendantes^ et tel que toutes les équations possibles de la forme (5) soient des conséquences des précédentes.

Si r = 3 la transformation de passage est entièrement déterminée par les rela> lions (8); si r < 3 on considérera le système complet

(9) L,F-hL;.F = o,

dont on connaît déjà /' solutions, à savoir Jy^ — Jj^. On détermine alors 3 — /• autres solutions de la forme F;t(j;,, Xa, ^3, x\, x\^ x\) et les équations (8) jointes aux équations

(10) Yk{x,x') — Ck,

donneront la solution du problème. Cette solution dépend de 3 — /* constantes arbitraires c*.

(') Lie-Engel, Transformations g rupperif t. f , p. 364.

l6 É. COTTON.

10. Examinons maintenant le cas où la décomposition canonique de 6/ est de la forme III ou de la forme V. Dans ce cas, la forme L^/ seule est entièrement déterminée çt il y a une infinité de systèmes possibles pour les formes Lj/, Lj/. Choisissons alors trois formes L|/, L2/, L^f bien déterminées, donnant lieu à la décomposition canonique de 8/, et de même trois formes L',/', L^/', L'a/' déterminées, correspondant à la seconde variété. La transformation de passage doit satisfaire évidemment : i^ à des équations de la forme (5); 2^ à des équations de la forme suivante :

où les cLij représentent des fonctions bien déterminées d^une seule lettre a (<). Nous considérerons a comme une fonction des x que nous chercherons d^ abord à obtenir.

Pour cela nous combinerons, comme précédemment, les équations (5) et (1 1), de manière à obtenir des relations nouvelles. Les équations obtenues pourront se diviser en trois catégories : 1^ équations contenant les x et les xf seuls; 2^ équations contenant les x^ les a/ et a; 3° équations contenant les x^ les ^', a et ses dérivées. Nous éliminerons les x! entre les seconds membres de ces diverses équations et nous obtiendrons ainsi un système S d^ équations aux dérivées partielles entre a et les x seuls. Si Ton ne rencontre aucune incompatibilité, on intégrera ce système, l'on portera la valeur trouvée dans (11), et Ton sera ramené à intégrer un système analogue au système formé par (8) et (9).

Si S contient une équation d'ordre zéro, a est déterminé, on est ramené au cas précédent; sinon a dépend de constantes arbitraires et la solution dépendra dUin plus grand nombre de constantes arbitraires que précédemment. On conçoit d'ailleurs que l'examen des types canoniques possibles pour les variétés applicables d'une infinité de façons sur elles-mêmes donne des renseignements sur le système S. L'examen de ces types canoniques indiqué au Chapitre V montre que la solution générale dépend, au plus, de quatre constantes arbitraires.

Si la variété donnée est telle que 6/ appartienne au type VI, on procède différemment. La racine triple de l'équation en p ne se réduit pas à une constante, sinon on aurait, contrairement à l'hypothèse du début, une variété à courbure

(*) En considérant les lettres L|/ et A// comme des variables indépendantes, les relations (11) sont les équations (sous forme finie) du groupe de transformations des deux formes D/, A/ en elles-mêmes.

constante. Nous aurons donc certainement une équation de la forme

Nous remplacerons alors Df par le carré de A(I,/), paramètre différentiel mixte de I et y, et nous serons ramenés à l'un des cas précédents. Il est évident d'ailleurs que A(I, /) n'est pas identiquement nul,* puisque I dépend effectivement des variables x,

H. On détermine les transformations dhine variété x, ds^ en elle-même par la méthode précédente. 11 suffit de prendre, pour seconde variété a:', rfs'*, celle qui se déduit de x^ ds^ par la substitution identique x=:x'. Ces transformations d'une variété en elle-même forment un groupe; nous le désignerons par G.

Les propositions précédentes permettent de donner quelques propriétés du groupe G. Ainsi la forme des équations (6) et (1 1) montre que, ^out toute variété non à courbure constante, il existe au moins une transformation infinitésimale Ly inaltérée par les transformations de G, ou, ce qui revient au même (*), échangeable avec les transformations infinitésimales de G, On peut compléter cette proposition lorsque la forme 9/ conduit à trois transformations infinitésimales L<y, La/i Lj/* bien déterminées. Ces trois transformations infinitésimales sont alors échangeables avec celles de G. Si l'on suppose, de plus, que les invariante I se réduisent tous à des constantes, les trois transformations Lf sont les transformations infinitésimales d'un groupe fini H, puisque les Ui/(s sont des constantes. Le groupe H est d'ailleurs transitif, puisque lesL/sontdes formes linéaires indépendantes des dérivées de f. De plus G, ayant toutes les transformations infinitésimales échangeables avec celles du groupe simplement transitif H, est, lui aussi, simplement transitif. En résumé :

Lorsque la forme S f conduit à trois formes Lf et que tous les invariants se réduisent à des constantes, le groupe G de la variété est simplement transitif et les j or mes Lf sont les transformations infinitésimales du groupe réciproque (^).

Cette proposition peut être établie d'une autre façon, à l'aide des considérations du Chapitre V.

12. Nous allons donner un exemple de détermination du groupe d'une variété.

(^) Lib-Engel, Tr ans formations g ruppen, I. Abschnitt, p. ,259.

(•) Pour la définition de ce groupe, voir Lie-Engel, Transformations g ruppen, Abs. 1, p. 38o.

l8 É. COTTOX.

Indiquons d'abord la forme simple que prend le paramètre différentiel D/ lorsque les coefficients du ds^ de la variété sont fonctions d'une seule variable Xi .

En posant

^^Wd^iJ dx^ ^«^'i J '

. \__ dA^ da^z i d^(hz

'* 4^* dxi dx'i 9,1 dx\

, I dl da^i 1 d-a^^

*' A A* dx^ dxi 2 A dx\ Les formules du Chapitre précédent donnent alors

L'une des racines de Téqualion en p relative à Sf(n^ 8) est alors égale à — 6; 6 est fonction de x^ seul; il en est évidemment de même de tous les invariants de la théorie précédente.

Cherchons maintenant le groupe de transformations de la variété Xi,

(i4) ds^ = 2e''^. dxi t/xj-i- (ce'**i dx^-^ e^^ dx^y

en elle-même; A, c sont des constantes. On trouve, tous calculs faits,

ox^ âxi oxi axi \àx^J

6 est une constante contenant h — i en facteur, qu'il est d'ailleurs inutile d'écrire. Dans le cas général, où (A — \)c est différent de zéro, la décomposition canonique conduit à trois transformations infinitésimales réductibles à

Ce sont les trois transformations d'un groupe simplement transitif.

Le groupe réciproque, c'est-à-dire le groupe des transformations de la'variété en elle-même, se détermine par des opérations connues; on peut prendre,

pour transformations infinitésimales de ce groupe,

La conclusion précédente tombe en défaut dans les cas suivants : 1° h — 1 = 0, On a alors une variété euclidienne.

2" c = o. Les transformations de la variété en elle-même ne laissent alors invariantes que les e:xpressions

les L.if représentant toujours les expressions (i5). En d'autres termes, une transformation de la variété en elle- même remplace Li/", Lj/", Lay respectivement par

A,/=L,/, A,/=L,/-+-aL,/, Aa/^L,/- «L,/- ^L,/,

où a désigne une expression que l'on détermine en écrivant que la structurée du groupe engendré par les A/ est identique à celle du groupe engendré par les L/. On a ainsi

C désignant une constante. Le groupe de transformations de la variété peut alors élre considéré comme engendré par les transformations infinitésimales (16) et par une quatrième transformation infinitésimale donnant un groupe à un paramètre remplaçant les L/y par les A/y. En désignant par Xy cette transformation infinitésimale et observant qu^à une transformation infiniment petite du groupe à un paramètre Xy correspond une valeur de C très petite, on voit que Xy doit donner lieu aux identités

(XL,)/=o, (XL,)/=e(*-')'.L,/. (XL,)/=- e'"-"*.L,/,

qui donnent un système complètement intégrable pour déterminer les coefficients de xy. On trouve ainsi que la transformation

h — 2 ôXi^ * dœ^^

ajoutée aux transformations (16), donne un groupe à quatre paramètres qui est le groupe cherché. Il est d'ailleurs aisé de vérifier directement que ces transformations infinitésimales laissent bien invariant le ds^ considéré.

13. On peut remplacer, comme on sait, les équations linéaires aux dérivées

partielles par des équations linéaires aux différentielles totales. Il est intéressant, pour l'extension de la méthode aux variélés à plus de trois dimensions, de construire directement un système d'équations linéaires aux différentielles totales qui donnerait encore la solution du problème de l'application. On y parvient par une méthode que nous allons indiquer rapidement, et qui présente de grandes analogies avec la précédente.

Nous avons vu (n" 5) que l'on peut substituer à G4, dans le cas d'une variété à trois dimensions, un covariant quadratique. Soient da^ et dcr'^* les covarianls quadratiques qui correspondent ainsi aux variétés x^ ds^ et :c', ds'^. En désignant toujours par p une fonction arbitraire des x, par p' ce qu'elle devient par la transformation de passage, nous réduirons (comme précédemment) à une forme canonique l'expression çds^-\-d^^ considérée comme forme quadratique des différentielles dx. En opérant de même pour p' ds'^ -\- di^^ et comparant les résullals obtenus, nous obtiendrons d'abord un système de la forme

et, en outre, trois équations

(18) ii{dx) = ri{dx')y

les li{dx) désignant trois expressions de Pfaff correspondant à la multiplicité ^,, ^2j ^3) les l'.(dx')j trois expressions analogues relalives aux x', [Dans certains cas, il peut être nécessaire d'iniroduire une arbitraire a dans les premiers membres des équations (18) : cette arbitraire sera considérée comme une fonction à déterminer des variables x,^ Avant de voir comment on exprime que les équations précédentes sont compatibles, montrons rapidement comment, en général, on obtiendrait un système analogue dans le cas de variétés à n dimensions.

On chercherait une décomposition canonique pour les formes F et G4 {voir n** 3), et les formes F' et G'^ relatives aux deux variélés. En général, on obtiendrait d'abord des équations de la forme

puis des équations de la forme

( 20 ) 2 bij ( dxi oxj — dxj èxi ) = ^ b'ij ( dx'i a^; - dx'j èx\ ) ,

dont le nombre dépendrait de la nature algébrique des formes considérées. On chercherait ajors à ramener simultanément à une forme canonique l'une des formes bilinéaires précédentes

2, bij ( dxî Sxj — dxj $Xi ),

et la forme biUnéaire

à dxfg

ce qui donnerart n équations de la forme (i8), où pourraient cette fois figurer plusieurs fonctions a, p, ... des lettres x, fonctions qui resteraient à déterminer. On simplifierait, bien entendu, les équations obtenues en tenant compte des équations (19) et des équations de la forme (20) laissées de côté.

En résumé, des opérations algébriques, plus ou moins compliquées suivant les cas, et des dérivations ramènent la recherche de la transformation de passage à l'étude d'un système composé : i** de n équations linéaires aux différentielles

totales

li{dœ) — ri{dx');

a*' d'équations de la forme

Pour étudier la compatibilité d'un pareil système sans rien lui enlever de sa symétrie par rapport aux deux multiplicités, on pourrait utiliser les covarianls bilinéaires des li[dx) et des l\{dx). Mais il serait plus simple de ramener l'étude de ce système à celle d'un système d'équations linéaires aux dérivées partielles (où la symétrie serait conservée) en se servant d'une notion qui sera expliquée plus loin : la notion de systèmes associés d'expressions de Pfaff et de transformations infinitésimales {voir Cliap. IV, n" 23).