REPRÉSENTATION CONFORME DES VARIÉTÉS A TROIS DIMENSIONS

14. Étant données deux variétés à n dimensions, x^ ds'^] x\ ds'^^ nous dirons qu'il est possible d'effectuer une représentation conforme de l'une de ces variétés sur l'autre, s'il est possible de déterminer un facteur p(^i, :r2, ..., ^/i), de telle sorte que les variétés x, p^ds^; x\ ds'^ soient applicables. En se reportant aux formules qui servent à définir les angles relatifs à une forme quadratique de différentielles (*), on vérifie sans peine que la transformation de passage de la

(*) Celte notion est due à M. Beltrami. Voir Darboux, Leçons sur la Théorie des surfaces, t. II, p. 5oo.

variété x, p^ ds^ à la variété ^', rf^'^ transforme les angles relatifs à ds^ dans les angles des éléments homologues de la variété x\ ds^'^. On peut dire encore que la transformation de passage conservé la similitude des éléments infiniment petits des variétés x, ds^ et x' , ds'^^^ ce qui explique le mot de représentation conforme. Nous allons donner le moyen de reconnaître s'il est possible d'effectuer une représentation conforme de deux variétés à trois dimensions l'une sur l'autre, et la manière d'obtenir alors la transformation de passage. Nous examinerons d'abord le cas où l'une des variétés données est euclidienne. Cela nous conduit à certains covariants qui permettent de ramener le problème général de la représentation conforme à celui de l'application.

13. Dire que la variété définie par X|, x*^^ x^ et ( I ) ds^ ■= ^ Œij dxi dxj

est susceptible d'une représentation conforme sur V espace euclidien, c'est dire qu'il est possible de déterminer un facteur p(^i,^2,^3), de telle sorte que la variété x^y X2j ^3, p^ ds^ soit à courbure totale nulle. Nous poserons

Nous aurons un système S d'équations aux dérivées partielles pour déterminer p en écrivant que le covariant Gj| de la variété x^ d(T^ est identiquement nul. La condition nécessaire et suffisante pour que le problème soit possible est que le système S soit compatible.

Il est aisé de voir que, de toute solution du système S, on peut déduire une nouvelle solution dépendant de quatre constantes arbitraires. En effet, la variété x, da^ est applicable sur la variété x\^ x'^, ^3, dx^ -\- dx^ •■\- dx^ , Cette dernière variété est susceptible d'une infinité de représentations conformes sur elle-même. D'une façon plus précise, posons

^7i, a2, ^3 et k désignant des constantes arbitraires. Les variétés

œ', B{x')(dx\*-hdx,\-hdx',^) et /, dy\^ -^ dy'^ -^ dy^ sont applicables ('). Remplaçons dans %{x') les x' à l'aide d'une transformation

{*) Voir, à ce sujet, un Mémoire de M. Darboux { Annales de l^École Normale, a' série, i. VU; 1878).

de passage de la variélé x', dx"^ -|- dx^ -f- dx'^ à la variété x^ dv^ ; désignons

par B(j?) la fonclion obtenue. Il est évident que pO ' dépend de quatre constantes arbitraires et se trouve, comme p, solution du système S.

Du moment que la solution générale du système S, supposé compatible, doit dépendre de constantes arbitraires, on doit pouvoir tirer de S et des équations obtenues par dérivation, l'expression des dérivées d'un certain ordre [jl de la fonction p, en fonction des dérivées d'ordre moindre. On peut prévoir d'ailleurs que jjl est égal à 2. C'est ce que nous allons constater directement.

16. Désignons par 5l/y les coefficients du cova riant G4 altaché à dv^ (la lettre «vl>iy étant réservée, comme au n** 5, aux coefficients du covariant G4 de ds^).

Développons /St/y en mettant en évidence les termes contenant les dérivées secondes de p^ il vient

les termes non écrits contenant au plus les dérivées premières de p. Les autres expressions 3^ij se déduisent des précédentes par permutations circulaires des indices i, 2, 3. On peut former des combinaisons linéaires et homogènes des 2iij ne contenant chacune qu'une dérivée seconde de p. Conservons, en effet, les notations du Chapitre I et ajoutons-leur les suivantes :

(3) P^z^a/yûf/y («,y = I,3, 3),

A,. = -4[aip^»„a„+A„a..-A,.a.,A,.A.],

Aji — "TA "T" ^ ^33'^li Ajî3j3 4- 2A23^2S •

Définissons d'une manière analogue Aai, A^a et A22, A38, en effectuant une permutation circulaire des indices i, 2, 3 dans les formules précédentes. Il est aisé de vérifier que

s ^' à'-p , '-^ P dxi àxj ' * ' '

les termes non écrits ne contenant pas les dérivées secondes de p. Le système S est composé, par définition, des six équations

Mais il résulte de ce qui précède que ces équations peuvent être remplacées par les suivantes

et nous avons bien le résultat annoncé an numéro précédent.

Nous allons effectuer un changement de fonction dans le système S. Remarquons, à cet effet, que les 5l/y sont fonctions homogènes de p et de ses dérivées des deux premiers ordres, le degré d'homogénéité étant 2. Par suite, les \ij sont fonctions homogènes de degré zéro de p et de ses dérivées; en

I dp d'autres termes, p ne figure dans les A/y que par des combinaisons telles que - •^—

et - ^ '

p dxidxj

Nous prendrons, comme nouvelle fonction inconnue,

R = logp, ce qui donne

làp__ù^ I à^p __ (?»R ôR ôR,

p dxi ÔJCi p dxidxj ôxidxj dxi dx^

nous désignerons encore par les mêmes lettres Aij le résultat de cette substitution dans les expressions (3). La fonction inconnue Rne figure dans les équations (5) que par ses dérivées partielles des deux premiers ordres.

Le système (5) doit admettre une solution dépendant de quatre paramètres arbitraires; par suite, en verlu de théorèmes connus sur les systèmes différentiels, il ne doit donner, par dérivation, aucune équation noiivelle. Les conditions de compatibilité de ce système s'expriment donc par des relations entre les coefficients de ds^ et de leurs dérivées. Si ces conditions sont remplies, on aura R et par suite p, par Tintégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. Une fois que l'on connaîtra une valeur de p, on déterminera la transformation de passage de la variété correspondante Xy dfj^ à la variété x\ dx^ -\- dx^ -\- dx"^ ^ d'après les méthodes connues.

17. Nous allons donner, sous forme explicite, les conditions de compatibilité du système (5). Nous examinerons d'abord un cas particulier, le résultat s'étendra ensuite au cas général.

Supposons que ds*^ soit de la forme

(6) t/5» - B î dx\ 4- BJ dx\ -+- BJ dx\.

En d'autres termes, imaginons que les surfaces

^i = const., ^, rr: const., jr3 = consl.

forment un système triple orthogonal relativement à ds-.

Signalons d'abord les expressions suivantes des symboles à trois indices de Christoffel :

ik )

! — o (si les trois indices sont différents),

il) B, (?B, ... ^

On trouve ensuite les formules suivantes :

'ïj ^^ dir^dx:^ B, dx^ ôx^ B3 dx^ àx^J'

les formules donnant les autres Xij se déduisent de celles-ci par permutation circulaire des indices i , 2, 3. On retrouve bien les équations classiques de Lamé ( ' ) en égalant à zéro les expressions précédentes.

On obtient les JSt/y en remplaçant dans les formules (8) B/ par pB/, et les formules des A/y donnent alors, tous calculs faits,

'' " dx\ l \(JxJ "^ 2 BJ \âxj "^ 2 BJ \dxj

J!àB^àR B^^^ B^^^ g, B, ^^^1 Bi Oxi âx^ BJ àxi ôxx BJ dx^ dx^ 2 B1B3'

*' dXfÔT^ âxi ôxz Bj ôx^ ôxx B3 âx^ âx^ *^' où Ton a posé, pour plus de simplicité,

«1 =: — aiBi-hasBj-l- a^B^.

Les autres A/y ont des expressions analogues. Les conditions de compatibilité

(*) Coordonnées curvilignes, p. 76.

du sj'slème

s'oblienncnl en égalant les diverses valeurs des dérivées troisièmes de R obtenues en dérivant les équations (5), puis en remplaçant, dans les relations obtenues, les dérivées secondes à l'aide des équations (5). Les conditions obtenues peuvent être mises sous la forme suivante :

(lO) A,.(,o — O (/•, 5, ^ =::l,'2,3),

en posant

11 est facile de vérifier que les expressions Ar^st) ne dépendent plus de R. En résumé, les relations (lo) sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que la variété proposée soit susceptible d^une représentation conforme dans r espace euclidien,

i8. Avant d'aborder le cas général, observons que, dans une variété à trois dimensions, il existe toujours des systèmes triples orthogonaux par rapport à la forme fondamentale. En effet, on peut toujours, par un changement de variables, ramener le ds^ à ne contenir l'une des différentielles que par son seul carré (*). Par un raisonnement analogue à celui de M. Darboux pour l'espace euclidien (^), on peut alors appliquer les ihéorèmcs de Cauchy aux équations aux dérivées partielles des systèmes triples orthogonaux de la variété considérée et établir l'existence de pareils systèmes. On pourra donc toujours ramener par un changement de variables le ds'^ d'une variété à trois dimensions à la forme (6).

Désignons toujours par

( I ) ds^^=^^^ afj dxi dxj

les ds' de la variété donnée, que nous supposons maintenant de forme quelconque. Conservons, d'une façon générale, les notations précédemment adoptées à une exception près : la lettre R représentera maintenant une fonction arbitraire des

(1) Darboux, Leçons sur la Théorie des sur/aces, t. II, p. 5o5. Le raisonnement fait à cet endroit suppose le ds^ défini positif, mais on peut démontrer la proposition pour un ds^ quelconque, à discriminant non nul.

(*) Leçons sur les systèmes triples orthogonaux et les coordonnées curviligneSy t. I, Chap. I.

SUK LES VARIETES A TUOIS DHIENSIONS.

variables x. Nous emploierons lesletlres accentuées x\ r/^^, A^^, 5t^ , A^^, R', . . ., pour désigner les éléments homologues de x^ arst ^rsy 3iijy ^pqt I^» • • •? dans une variété x' y ds'^ déduite de x, ds^ par un changement de variables quelconque. Les Apg s'expriment linéairement en fonction des 5l/y ; ceux-ci s'expriment linéairement en fonction des 3^[j et, par suite, des A' . Donc les A^^ se déduisent des A' par une substitution linéaire homogène dont il est facile de déterminer les coefficients. En effet, R étant arbitraire, les coefficients des A' , dans les expressions des \rs en fonction des A' , sont visiblement ceux des dérivées

secondes > ^ / dans l'expression de -z — - — en fonction des dérivées premières

et secondes de R'. On peut énoncer ce résultat sous la forme suivante :

La forme quadratique (*) de différentielles

(12) \{dx) =2 ^^XpfjdXpdXfj

est un covariant de ds*^.

Nous avons vu (n° A) que tout covariant de différentielles attaché à ds'^ donne, par dérivatian, un covariant nouveau (*). Appliquons ce résultat à A(rfjc). En posant

le nouveau covariant obtenu est

( 1 4 ) ^^ {dx^ dx, Dx ) = ^ ^kuj) ^^k{dxi dxj — dxj dxi),

La sommation s'étend aux valeurs i , '2, 3 de l'indice Â', et aux combinaisons sans répétition

des indices i, 2, 3 pris deux à deux.

Dans le cas de la forme (6) les coefficients de ce covariant C coïncident entièrement avec les fonctions Ar(st) définies au n° 17. Mais nous pouvons supposer que ds'^ a la forme (6). Les fonctions A^|,,j et le covariant G' ne dépendent pas de R'. La transformation de passage de a:', d^^ à x, ds^ change R' en R, et le covariant C dans le covariant C. Donc :

Le covariant C{dx, ojc, D^) ne dépend pas de la fonction arbitraire K.

(*) La relation A;,^^ = Kqp résulte immédiatement des équations (3) de définition de A^,,,. (') Pour le cas particulier qui nous occupe, voir Bianciii, Lezioni dl Geometria differenziale, Chap. H, p. 53.

Les propriétés d'invariance de C et les résultats du n" 17 nous perraellent ' d'énoncer encore la proposition suivante :

La condition nécessaire et siijffisante pour que la variété proposée puisse être représentée conformément sur l'espace euclidien est que le covariant C{dx, ùx^ Dx) soit identiquement nul.

Le premier problème que nous nous étions proposé est donc résolu.

19. Soit p une fonction des variables x; posons, comme précédemment,

d(i^=z p^ ds^.

Il résulte de ce qui précède que le covariant C est le môme pour les variétés x^ ds^ et x^ di^. Admettons, pour un instant, que l'on puisse former à Taide de C un in^Hiriant de rfcr^ qui, exprimé en fonction des coefficients de ds^ et de p, contienne en facteur une puissance de p. Nous pourrons disposer de p de façon que cet invariant, supposé différent de zéro, des^ienne égal à limité. A cette valeur de p correspond une variété x^ d<7^ bien déterminée, que nous désignerons par x^ rfS^, et que nous appellerons variété principale.

Soient maintenant x, ds^\ x\ ds'^ deux variétés données (*), pour lesquelles nt)us supposerons possible le problème de la représentation conforme. Soit r un facteur tel que les variétés x, r^ds^] x', ds'^ soient applicables. Désignons par h^ r- ds^ le rfS^ de la variété principale attachée à x^ ds^ ; par h' ce que devient h par la transformation de passage de x^ r- ds^ à x' , ds'^. Cette même transformation de passage transforme la variété principale x^ dS^ dans la variété x'^ h''^H^ ds'^; et, comme la valeur de l'invariant qui a servi à définir la variété principale ne change pas, la seconde variété x', h'^f^'^ ds'^ est aussi principale. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si deux variétés sont représentables conformément l'une sur l'autre, leurs variétés principales sont applicables et réciproquement.

Ce dernier point est évident.

20. Il nous reste à établir l'existence d'un invariant de drr* différent de zéro contenant en facteur une puissance de p. Nous supposerons pour cela ds^ défini positif .

Nous montrerons d'abord que le covariant C{dx^ ùx, Dx) peut être remplacé par un covariant bilinéaire équivalent.

(*) On remarquera que ds^^ a une autre signification qu'au numéro précédent.

En posant

Ui = djc^ 6x3 — cir^ àjCzf ^h = clx^ êx^ — dxi dx^f "3 ~~ dxi dx^ — cix^ ôx^ et

on peut écrire

^'kl A/.(î3), Cai A/,.(3,), L^3 Vx-(i2),

C(clx, Sx, Dx) = ^Q-/ Dj?x-W|.

On vérifie aisénienl que les deux expressions

sont des covarianls de rfo*^. (Rappelons que A représente le discriminanl de ds'-»)

Nous pouvons en conclure que les expressions — — -r-z — subissent, par un chan-

p* y A ^ dXi

gement de variables, la même substitution linéaire que les «/, et que, par conséquent, ]a forme bilinéaire

est un covariant de d'j'^. Le covariant analogue, relatif à ds^, est manifestement W(dx^ Dx), 11 est évident d'ailleurs que ^ ne s^ annule identiquement que lorsque C est identiquement nuL

Les deux séries de variables dx^ D.r, de la forme W subissant, par im changement de variables, la même substitution linéaire, nous sommes conduits à considérer les formes suivantes, que l'on obtient en échangeant les variables dx^ Do:, ajoutant et retranchant les résultats obtenus :

- V{dx, Dx) = — W{d^, Dx) 4- — ^F(Dx, dx),

-Cj{dx, \)x) — —W{dx, \)x)— —W{\)x, dx).

Si Ton pose

^=2yiAû^^iDxA,

ik

3o É. COTTON.

on aura

irs I

lit

{\{dx, \)x) —^^ {yik— y Ai) dxi Dxf,.

ik

Nous voyons ainsi que F est la forme polaire de la forme quadratique

<i>{dx) ^-^ - {yu-^ yik) dxidxf,,

ik

el que l'on a l'idenlilé

{j{dx, T^x) -h G(Dj7, dx) 1:= o.

Enfin l'idenlilé

montre que F et G ne sont identiquement nuls que lorsque W el, par suite, C sont identiquement nuls.

21. Nous pourrons donc remplacer G par V ensemble de la forme quadratique - ^{dx) et de la forme bilinéaire - G(dXf Dx),

Les fonctions symétriques élémentaires des racines de l'équation en \ obtenue

en annulant le discriminant de \d<j--\ — ^(dx) sont des invariants de la variété

Ghacune de ces fonctions contient en facteur une puissance de — j d'exposant

égal à son poids. Observons, de plus, que d^^ étant défini positif {dT- et <ï> sont

nécessairement à coefficients réels), les racines et les fonctions symétriques de

ces racines ne sont toutes nulles que dans le cas où ^ est identiquement nul.

Si ^ est différent de zéro, nous aurons au moins un invariant répondant à la

question. Si <ï> est nul, nous aurons recours à la forme -G(dx. Dx). Gombinons

P celte forme avec la forme polaire de rf-r^ ; nous obtenons une nouvelle équation

en X, en annulant le discriminant de

- >^ Dxi -rr-T h - Ci(dx, Dx ).

2 Jà^ * à dXi p ^ ^

Les fonctions symétriques des racines de cette équation présentent les mêmes propriétés d'invariance que celles de la précédente; elles contiennent aussi en

facteur une puissance de — • Il reste à voir dans quelles conditions ces fonctions

SUR LES VAUIÊTÉS A TROIS DIMENSIONS. 3l

symétriques sont toutes nulles. Pour cela, supposons d^- ramené, par un changement de variables, à la forme ^p'^By dx^^ l'équation en \ est alors

Pour que les racines de cette équation soient toutes nulles, il faut que Y^:, — Y32) Ysf — Yi3) Y»2 — T2» '^ soient, c'est-à-clire*<7«e G soit identiquement nul. Or, si ^ et G sont nuls tous deux il en est de même de C{dx, ox^ Dx),

En résumé :

Etant donnée une variété à trois dimensions et à ds^ défini positif, il est toujours possible, soit de la représenter conformément sur l* espace euclidien , soit de lui adjoindre une variété principale,

22. Le problème de la représentation conforme paraît se compliquer dès que Ton suppose les variétés données à plus de trois dimensions, ainsi que nous allons l'indiquer sur un cas particulier.

Supposons que l'on ait une variété à n dimensions (/i >> 3) x^ ds* dont le dsait la forme particulière

( 1 5 ) ds* = \] B* dxf (i^=: i, 2, . . . , « ),

étudiée par M. Darboux (*). Si Ton veut chercher les conditions pour que la variété précédente soit représentable conformément sur l'espace euclidien à n dimensions, c'est-à-dire sur l'espace x\^ x[^^ . . ., x^^^ ds''^

(16) ds'' = ^dx\\

on procède de la façon suivante : On considère la variété Xy d<T*, en posant

(17) d(j^=p^dsK

M. Darboux, dans le Mémoire cité, a donné les conditions pour qu'une variété dont le ds'^ a la forme (i5) soit euclidienne. On peut appliquer ces conditions à • la variété x, d<j'^y puisque rfo-^ est de la forjue voulue. On obtient ainsi un système \^ d'équations aux dérivées partielles du second ordre qui doit donner la fonction p. On peut encore prendre R = logp comme fonction inconnue dans le système 7,»

(ï) Annales de l*École Normale, 1^ série, t. VII; 1878.

Ce système V est alors analogue au système S du n"* lo; mais il en diffère, si n

est supérieur à trois, par le fait suivant : On peut résoudre ^^ de différentes

façons par rapport aux dérivées secondes de R. En égalant les valeurs trouvées, on obtient une première série de conditions de compatibilité oit ne figurent que les coefficients du ds^ et leurs dérivées d'ordre inférieur ou égal à deux, H est inutile décrire ici ces conditions.

Si ces conditions se trouvent satisfaites, ^ donne un système de valeurs bien

déterminées pour les dérivées secondes de R. Égalant alors les diverses valeurs des dérivées troisièmes de R, obtenues par dérivation des valeurs trouvées pour les dérivées secondes, tenant compte des équations précédentes, on obtient une seconde série de conditions de compatibilité où figurent les dérivées des trois premiers ordres des coefficients de ds^. Les deux séries de conditions sont nécessaires et suffisantes pour que la variété donnée soit représentable conformément sur l'espace euclidien à n dimensions.

Considérons maintenant un ds^ de la forme (i5) pour lequel les premières des conditions précédentes sont seules satisfaites. 11 est évident que Ton pourrait, comme précédemment, définir un covariant cubique, à trois systèmes de différentielles, commun à toutes les variétés x^ p^ds^^ p étant fonction quelconque des variables x. Il est probable que ce covariant permettrait de définir encore une variété principale; mais Tétude algébrique du problème devient évidemment plus compliquée que pour le cas de n = 'd. A fortiori, en serait-il de même pour les variétés quelconques dont le ds^ peut prendre la forme (i5); et plus encore pour les variétés à ds^ absolument quelconque. En effet, le théorème du n° 18 ne peut pas se généraliser pour une variété à plus de trois dimensions. Il faudrait alors commencer par étudier directement les équations obtenues en égalant à zéro les coefficients du covariant G^ de Christoffel relatif à la variété x, rfo-^, ce dont nous avons pu nous dispenser dans le cas de trois variables.