LÉQUS UC EU) DD EURE EU

ce qui est visiblement impossible.

(1) Vour le n° 6, où la limite signalée est du second degré par rapport à m, qui est remplacé ici par v.

Nous arrivons donc à la conclusion que le nombre total des valeurs exceptionnelles finies est au plus égal à 2 —1 (Qu)

Cette méthode est applicable toutes les fois où le dernier terme de léquation (31) admet un zéro, quel que soit w.

S'il n’en est pas ainsi, la fonction DoO(Z W)+Ao(z M)+...+ A) p(z,u)

pourrait bien, pour certaines valeurs de #9, n’admettre aucun zéro, et alors le second membre de (32) ne prendrait jamais la valeur À. Dans ce cas, on serait obligé de tenir compte de ces valeurs de ws.

J’appelle l'attention sur le fait tout à fait remarquable que 6(3,u) peut être une fonction uniforme quelconque de w (pourvu qu’elle n’admette pas des infinis); elle peut avoir des singularités essentielles de toute sorte. En effet, la manière dont w(z,u) dépend de w ne joue aucun rôle dans le calcul du nombre des valeurs exceptionnelles.

Le théorème subsisterait même dans le cas où &(3, uw) serait une fonction multiforme de w. Cela tient à ce que, étant donnée une valeur w, exceptionnelle, parmi les différentes fonctions entières ©(3, us), il n’y en aurait qu’une à laquelle

correspondrait une équation de la forme

F(z, Uo) en (BAT EA) eHols),

Q(z) croissant moins vite que el et cela grâce au théorème lui-même de M. Picard généralisé.

En effet, il est impossible qu’il y ait deux fonctions 5,(3) et 5:(z) différentes,

É : : Re SE > a croissant moins vite Sue el] et telles que la densité des zéros des fonctions

A(s)+Ai(s)u+...+ A, (s)ui + uÿ + o1(5),

A(z)+A;(z)uo+...+ A, (z)uÿ + ur +o(s) soit autre que celle qui convient au mode de croissance eV),

VI. Les résultats intéressants, exposés dans ce Chapitre, montrent le rôle considérable que le théorème de M. Borel joue tout naturellement dans les questions de ce genre, et la manière dont il intervient toutes les fois qu’il s’agit d'étudier les zéros des fonctions analytiques.

Dans la pratique, dans des problèmes particuliers, l'utilité de ce théorème est

sans doute beaucoup plus considérable que j'ai pu l'indiquer dans ce travail.

(1) C’est juste la limite que nous avons trouvée dans la première Partie pour Îes fonctions

à v branches.

38 G. REMOUNDOS.

VII. Soit maintenant F(3, «) une fonction entière des 3 et w tout à fait quel-

conque; en ordonnant par rapport à w, on a (30) F(z,u)=A,(z)+A,(s)u+A,(s)u+...+A,(s)ur +...

Nous n'avons étudié jusqu'ici que les cas particuliers suivants :

1° Jl est possible de réduire F(z,u) en une somme d’un nombre fini de termes de la forme o(u)A(z), A(z) et s(u) étant des fonctions entières. L'ensemble (©), lorsqu'il est infini, est dénombrable.

2° Le module e"") de A,(3) décrott assez vite avec n, de manière à réaliser Les conditions (21!) posées dans le n° 4. Dans ce cas, l’ensemble (e) est finx.

Les mêmes considérations nous conduisent à la conclusion que l’ensemble (e)

est dénombrable dans le cas où F(z3,«) peut prendre la forme CU F(z,u)=B,(s)o(u) + B:(s)otu)+...+B,(z)o,(u) +...

les o(u) étant des fonctions entières quelconques, pourvu que la même condition sur l’ordre de grandeur de B,(r) soit réalisée.

En effet, notre méthode d'élimination prouve que, étant donné un certain nombre de valeurs exceptionnelles, toutes les autres seront des zéros d’une fonction entière qui dépend du mode de décroissance de e""!”? [ordre de grandeur de B,(r)] et des fonctions 5,(u), s>(u),... jusqu'à un certain rang fixe. L’ensemble (e) sera donc dénombrable.

Il est très naturel de nous demander s’il en est de même dans le cas le plus

général où F(3, w) est quelconque. Ce problème fera l’objet du Chapitre suivant.