UN THÉORÈME GÉNÉRAL ET LA PROPOSITION FONDAMENTALE DE M. BOREL

1. L'étude des fonctions multiformes w(3) les plus générales qui sont définies par une équation quelconque

se rattache étroitement au problème suivant ;

Etendre le théorème de M. Borel au cas où ses identités contiennent un nombre infini d’exponentielles, le premier membre étant une série.

Bien que cette extension ne me semble pas douteuse, elle présente des difficultés considérables que je n’ai pas pu surmonter complètement. Nous nous donnons une identité de la forme (!)

(34) Q, (2) et) = Q:(z) el. + Q,(z) el) + ,,,—0o

et nous supposons que les [| Q,(z)| restent inférieurs à eë°), à partir d’une certaine valeur r,, indépendante de n, et que les H,(3) (n—1,2,3,..., œ) croissent plus vite que [x(7)]'+ à partir de la même valeur der.

Nous nous proposons de démontrer qu’une telle identité entraîne la nullité de HN IEEE EEE œ).

Nous pouvons souvent supposer que tous les H,(3) (7 —1,2,...,00) ont le même ordre de grandeur. J'entends par là que, si M4(r) et M;(r) désignent l’ordre de grandeur des H;(7) et H;(7), on a

EM Cr) < Mer) < [M (Cr)

à partir d’une certaine valeur de 7, aussi petit que soit e.

En effet, s’il n’en est pas ainsi, nous pouvons diviser la série du premier membre de l'identité (34) en un nombre fini ou infini de groupes, tels que les H;(z), correspondant au même groupe, aient le même ordre de grandeur, au sens

que nous venons d'indiquer. Considérons deux cas intéressants.

: (a) Le nombre des groupes est fini. — Nous pouvons alors nous borner au groupe dont l’ordre de grandeur est maximum et réunir tous les autres à un terme. Les groupes, qui ne contiennent qu’un nombre fini d’exponentielles, donneront évidemment un terme croissant moins vite que elrtrn (e étant aussi petit que l’on voudra) (?); il en est de même des groupes qui renferment un nombre infini d'exponentielles et l’on s’en rend compte en faisant des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits dans le paragraphe 4 (exemple). Nous voyons donc que ce cas se laisse ramener immédiatement au cas où tous

les H;(z) ont le même ordre de grandeur.

(B) Chaque groupe ne contient qu'un nombre fini d’exponentielles, leur

nombre étant infini. On démontrera alors de proche en proche l'annulation de

(1) J'ai, pour simplifier, adopté ici un mode spécial de décroissance du terme général I : ; avec —; Q,(2)ellil5) ne tend pas vers l'infini avec 7. n

(2) Je désigne ici par zx (r) le plus grand des ordres de grandeur des divers groupes.

40 G. REMOUNDOS.

tous les Q;(z) si, à partir d’une certaine valeur de », l’ordre de grandeur de H,(4) diminue constamment.

En effet, soit

(35) G(s) + Gtz)+ G(z)+...+G(4) +... =0

l'identité (34) écrite avec le groupement des termes. Il est clair que l’application successive du théorème de M. Borel décompose

cette identité en une infinité d’autres Go(s) — 0, G(z)=0, .. G:(3) = 0, ...

donc chacune ne contient qu’un nombre fini d’exponentielles. Nous en déduisons immédiatement la nullité de tous les Q;(23). D'une façon plus précise on démontrera d’abord la nullité des Q;(4) figurant dans G,(z) et l'on sera ramené à l'identité G(z)+ G(z) +...+ G,(s) +...—=0o.

De même on démontrera la nullité des Q;(z) appartenant à G;(z) et l’on sera

ramené à l'identité G(3)+...+G:(2) +...—=0

et ainsi de suite.

Donnons-nous un exemple d'une identité (34) remplissant les conditions posées. Supposons que les Q;(z) soient des fonctions entières d'ordre inférieur à p 1 et que les H;(z) soient des polynomes quelconques; ou, encore, que les Q;(z)

(= 1,2,...,0) croissent moins vite que e° avec p < p 1 et que H,(z) soit une n+i

fonction entière d'ordre égal à ; l’ordre de H, (3), qui est égal à 2 pour nr =1,

tend vers l’unité lorsque n croît indéfiniment.

2. J'ai fait une tentative pour démontrer le théorème ci-dessus énoncé dans le cas le plus général en utilisant les méthodes mêmes de M. Borel; j'ai employé un artifice qui me paraît destiné à surmonter les difficultés qui proviennent de ce que le nombre des termes est infini (1).

J'ai écrit l'identité (34) sous la forme UN I :

Os) 0:()e RER RQ) SR; (+)— 0

et J'ai fait les opérations de M. Borel (divisions et dérivations successives) de la même facon, comme sin était fixe.

(1) Dans une Communication à l’Académie (Comptes rendus, 190{) j'ai signalé une voie détournée, qui nous conduit à cette extension dans certains cas particuliers.

SUR LES ZÉROS D’UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES.* 4r

L’artifice, dont j'ai parlé plus haut, consiste en ce que je fais croître » indéfiniment en même temps que 7 (en considérant » comme fonction de r) de facon que le module de R,(z) reste toujours inférieur à e“(”), bien que, en vérité, R,(z) croisse plus vite que er

Cet arüfice tient à ce que, étant donnée une valeur de r, aussi grande que nous

voudrons, il y a toujours une valeur », de n, telle que l'on ait

Re CG) En pourn > n,.

Je n’y insisterai pas dans ce travail, puisque la discuss’on n’est pas complète.

3. Je tiens seulement à aborder un autre problème, qui se rattache à ces considérations.

Nous savons que, étant donné un nombre fini de fonctions entières A,(z3), A2(3), ..., A,(3), il existe toujours une infinité de valeurs de 7, croissant indéfiniment, pour lesquelles ces fonctions satisfont simultanément au théorème de M. Hadamard sur le module minimum et aux inégalités de M. Borel sur la croissance de la dérivée (1).

Y en a-t-1l de même, lorsque les fonctions données A;(z) sont en nombre infini (un ensemble dénombrable }?

Il est clair que, pour répondre à cette question, il faut faire une étude des intervalles d'exclusion plus approfondie que l’on n’a fait jusqu'ici.

Si les fonctions A;(z) sont d'ordre fini, la chose est certaine relativement aux inégalités de M. Borel (croissance de la dérivée). La réponse est affirmative, à cause de l’absence d'intervalle d'exclusion.

Voir, à ce sujet, le beau complément apporté par M. Boutroux (?) aux résultats de M. Borel.

M. Albert Kraft (3) a fait une étude systématique des intervalles d'exclusion dans le cas d'ordre infini en développant les méthodes de M. Borel. Voici un résultat des calculs de M. Kraft.

Étant donnée une fonction entière A(:), telle que

(ur) fur) e AM) cu

M(r) étant le module maximum de A(z) et (r) une fonction croissante, que

(1) Voir E. Borer, Leçons sur les fonctions entières et Mémoire sur les zéros des fonctions entières (Acta mathematica, t. XX).

(2) Bourrovx, 7’hèse de doctorat, 1903.

(3) Acgert Kr\rr, Ueber ganze transcendante Functionen von unendlicher Ordnung, Inaugural-Dissertation (Gottingen, 1903).

42 G. REMOUNDOS.

M. Kraft a appelé ordre de la fonction A(z), l'étendue totale des intervalles : : LA ; 1 d'exclusion compris entre 7, et 279 est inférieure à ———«

b(7) Supposons done que l’ordre de A,(3) (d’après la définition de M. Kraft) est égal à [u(r)]", mr) ne dépendant pas de ».

Alors l'étendue totale des intervalles d'exclusion, relatifs à toutes les fonctions

AFCs)|n—=1,2,.... 0)et compris entre ro et270, est évidemment égale à

Ll I I

u(ro) l [u(ro)l? pe Tetn) re

Elle est donc finie et diminue même lorsque r croît indéfinimert. Nous voyons done que dans ce cas particulier la réponse à la question ci-dessus posée estaffirmative.

Il est clair qu'il en est de même, lorsque le rapport Un 1(r):hn(r) reste, à partir d’une certaine valeur de 7 et À, inférieur à un nombre g, plus petit que

l'unité, et, en général, lorsque la série suivante converge, à savoir

I I I Ll

Re OC Ca

un(r) désignant l'ordre de A,(z) (d’après M. Kraft).

Il n'est même pas besoin qu’elle converge, pourvu qu’elle croisse moins vite que ro (!).

La conclusion subsiste, si l’on considère toutes les inégalités simultanément de

M. Hadamard etde M. Borel pour un nombre quelconque (mais fini) de dérivées.

4. Quant au théorème, que nous nons fûmes proposé de démontrer à la fin du Chapitre précédent, on peut l’établir par des raisonnements bien simples.

Soit u — (3) une fonction maltiforme, définie par une équation (36) FC, 4) =0,

F(z, u) désignant une fonction entière des z et w quelconque.

La fonction inverse 3 —%(u), définie par (36), est à un nombre infini de branches, puisque la fonction F(z, &) n’est pas un polynome en 3.

Si &, est une valeur exceptionnelle, la fonction 3 = Ÿ(u) n’a qu’un nombre Jini de valeurs pour # = u (nous prenons ici l'expression valeur exceptionnelle

dans le sens restreint du mot). Cela veut dire qu'un nombre infini de détermina-

{1 e à s par là a série à reroe x 7 : N (1) J'entends par là que la série ne converge que pour une valeur finie de 79; sa somme S(7°0*

peut tendre vers l'infini avec 79, mais pas plus vite que lui.

de , 5 SUR LES ZEROS D UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES, 435

tions de la fonction 3 — b(u) coïncident en w,, donc & est un point critique transcendant de 3 = Yu).

Je dis maintenant que ces déterminations (en nombre infini), qui coïncident en w9, tendent vers l'infini, lorsque w tend vers wo.

La cause en est bien simple, c’est que, si elles tendaient vers une valeur finie 34, la fonction F(:, u) pourrait être développée, d'après le théorème classique de Weierstrass (1), en un produit de la forme

F(z,&)= P(4,u) ellau,

> ; = P(z, u) étant un polynome en 3 et holomorphe en w dans le voisinage de # = wy et H(z, u) étant une fonction holomorphe dans le voisinage des valeurs 3 = 2 EUU—L,.

, . ‘ . 3 Par conséquent, les branches de la fonction 3 — Y(u) qui deviennent égales

à Z9 pour & — wQ coïncideraient avec la fonction 3 — a(u), définie par l'équation PE 2)— 0.

Donc, le point 4, serait un point critique algébrique de 3 = d(u).

Nous arrivons donc à la conclusion que l’ensemble (e) des valeurs exceptionnelles fait partie de l’ensemble des infinis de la fonction analytique z = (uw); or, ce dernier ensemble est dénombrable; ceci résulte d’un théorème général de M. Poincaré (Rendic. del Cire. mat. di Palermo, 1888).

M. Poincaré a démontré que l’ensemble des déterminations d’une fonction ana-

lytique quelconque est dénombrable,.

Tuéorkue. — L'ensemble des valeurs exceptionnelles (+) de u = 9(z) est tou- Jours dénombrable avec un point limite, l’infiné (?).

Le fait que les valeurs exceptionnelles (E) sont des singularités critiques transcendantes de la fonction inverse 3= Ÿ(u) est très important. Il fait apparaître l'utilité pratique des théorèmes que nous avons établis au premier Chapitre de cette partie du Mémoire, concernant le cas où la fonction F(z,u), qui définit la

fonction multiforme, peut être réduite à la forme qgits, u)Ai(s)+g(z, u)A,(z) +...+ (2, u) A,(z) = 0,

où les A;(z) désignent des transcendantes entières d'ordre de grandeur e"(”);,.

(1) Voir, par exemple, E. Picarn, Traité d'Analyse, LIT, p. 245.

(2) I n'y a pas de points limites à distance finie, puisqu’une valeur finie de w ne saurait être un point limite de points critiques transcendants. On s’en rend compte en se reportant au même théorème de Weierstrass. On le vérifie encore en remarquant qu’une valeur finie

de w n’est jamais une singularité essentielle de 3 = W(u).

44 G. REMOUNDOS.

ea, ..., e"0) avec la propriété que les fonctions croissantes M, (r), M, (7), My)

ont le même ordre de grandeur (j’adopte ici la définition donnée par M. Borel dans son Mémoire Sur les zéros des fonctions entières, page 372).

Les g:(z, u) sont des transcendantes par rapport à 4 avec un ordre de grandeur em), où u;(r) a un ordre de grandeur inférieur à celui de M;(r).

Nous avons donné dans ce Chapitre des fonctions entières en w, qui doivent

s’annuler par les valeurs exceptionnelles EAr

9. Enfin les considérations générales que nous venons d'exposer dans le paragraphe précédent peuvent avoir d’autres conséquences intéressantes.

Posons Fra) ee):

A chaque valeur de w correspond un développement tel que FC) PL T)eRT

P,(2) étant un produit canonique de facteurs primaires de Weïerstrass et H,,(3) une fonction entière.

Soit u, une valeur de &w et P, (2) le produit canonique correspondant; à une valeur 4, + Au, très voisine de w, correspondront des zéros de F,(z) très voisins de ceux de P,,(3). La fonction P,(:) est de la forme

Elle est une fonction continue dans tout le plan de w, sauf les zéros des diverses branches z,(u); c’est une fonction analytique de w, prolongeable dans tout le

plan de uw, puisque l’ensemble des singularités des diverses branches de 3(u) est dénombrable.

D'autre part, c’est une fonction entière de z.

Tuéorimre. — F(z, u) étant une fonction entière quelconque des 2 et u, elle peut être mise sous la forme

(48) F(z, D) u} en)

les H(z, «) et P(z3, u) étant des fonctions entières en 3 et analytiques en w et

(1) Nous avons ainsi un moyen de rechercher les points critiques transcendants de la fonction z = W(u), sur lesquels il n’y a qu’un nombre fini de branches qui ne se confondent pas.

< 2 ? / SUR LES ZEROS D UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES, Â5 telles que P(z, u) soit un produit canonique de facteurs primaires, quelle que soit la valeur de u.

Soit (49) PÉTER M) (u)z Ro) era (u)zt +...

uo Sera une valeur exceptionnelle de w, si P(z, uw) croit comme

eb(r) avec Br) <T[M(r)ITS,

@ étant un cerlain nombre positif.

Nous avons dit plus haut que toute valeur exceptionnelle w, de u = #(z) est un pointcritique transcendant de la fonction inverse 3 = 4 (uw). La réciproque n’est pas en général vraie : si &Q est un point critique transcendant de 3 — Y(u), un nombre infini de déterminations de 3 —%{u) y coïncident, mais cela peut avoir lieu sans que le nombre des valeurs distinctes de 3 = (uw) en w, soit fini.

Nous terminons ce paragraphe par la remarque suivante :

Les zéros de d(w) ne peuvent être que des points critiques algébriques de P(z,u) lorsqu'ils ne sont pas des points ordinaires et nous savons, d’après le théorème classique de Weierstrass, que la fonction F(z, &) peut être mise sous la

forme Eu) Os, u)eet,

Q(3, u) étant un polynome en 3 et holomorphe dans le voisinage u = uw, [&, étant un zéro de d(u)| et G(z3, u) holomorphe dans le voisinage des valeurs 3 = 0 CLAIR

Donc P(z2,u) est uniforme dans le voisinage même des zéros de d{u) (1). Il est facile de voir que ces points ne peuvent être que des pôles de P(z, w), qui sera, H(z, ve

par conséquent, une fonction méromorphe de w,. Il en résulte que e"®" doit être

de la forme el, uw) — o(u je), On aura donc, en définitive, la formule suivante

EC 2)=c(4)P(7,v)e et,

où (uw) désigne une fonction entière de w et P(z, u) un produit canonique en 3,

quel que soit w. A(z, u) sera une fonclion entière de zet u.

(1) Je fais ici l'hypothèse restrictive que F(z,u) est de genre séro par rapport à &. P(z, u) est uniforme dans le voisinage des zéros de (uw), puisqu'il est symétrique par rap-

port aux diverses branches (en nombre fini), qui peuvent se permuter autour de ces points,

46 G. REMOUNDOS.

Ce résultat est à rapprocher avec celui que M. Boutroux a annoncé récemment à l’Académie (1). Je ne possède pas son extension au cas général, qui me parait probable.

Voici le parti que nous allons tirer de ce résultat :

Pour simplifier, plaçons-nous dans le cas où F(z, w) est d'ordre fini p par rapport à 3, quel que soit w. Pour que w, soit une valeur exceptionnelle, il faut et il suffit que P(z, w,) soit d'ordre inférieur à p. Je prends ici l'expression valeur exceptionnelle dans le sens large du mot.

Rechercher les valeurs exceptionnelles de x revient à chercher les valeurs de w

pour lesquelles le coefficient 4, (uw) satisfasse l'inégalité

tres = +E

à partir d’une certaine valeur de n, € étant une quantité positive aussi petite que

l’on voudra, mais finie.

Qn (Uo)

Si uw, est exceptionnel, tandis que la valeur w, ne l’est pas, le rapport AT n 1

tend vers zéro pour une infinité de valeurs de 7» croissant indéfiniment.

Il est sans doute aisé d'étudier par cette méthode l’ensemble des valeurs exceptionnelles et de lui étendre le théorème, démontré dans la page 42, où le mot exceptionnelle a été pris dans le sens restreint du mot.

Mais je n’y insiste pas ici.

6. On peut donner la forme suivante au théorème de la page 42: u(z) étant

une fonction multiforme définie par l'équation F(z'u4)=S,

elle prend dans le domaine de l'infini toutes les valeurs, sauf peut-être un ensemble dénombrable n'ayant qu’un point limite, l'infini.

On lui donnerait probablement des généralisations analogues à celles que nous avons données à la classe spéciale des fonctions multiformes, étudiées dans le Chapitre précédent.

(1 Sur une classe de transcendantes multiformes (Comptes rendus, 5 avril 1904).