E = ; = IC D COUPE
expression qui ne peut pas être de la forme P(z)eQ,
en vertu du théorème même de M. Borel.
(2) En suivant exactement le même procédé, nous démontrons facilement que la condition
ci-dessus indiquée est bien vérifiée, lorsque A,(3) est de la forme
; An(z) = 0(z)an(z),
Se PAT rar ip 7 AS où la quantité ÿO(n) tend vers zéro avec = (3) Dans le cas où les A,(z) sont d'ordre fini, ces conditions sont susceptibles d’une précision, grâce aux résultats récents de MM. Boutroux, Lindelüf et Wiman. Je m'en occuperai
dans d’autres travaux.
32 G. REMOUNDOS.
est impossible, aussi grand que soit l’entier », et aussi petit que l’on voudra le
nombre positif «.
6. Nous croyons utile de présenter nos considérations dans quelques cas particuliers pour faire apparaître tout l'intérêt théorique et pratique qu’elles offrent, ainsi que la fécondité de la proposition fondamentale de M. Borel.
Soit l'équation
(27) qu) Ai(&) + qa(u) As (a) + + qu) A,(s) + ou) B(2) + ou) B:(3) +... + ou(u) By(z) —o,
où les gi(u) désignent des polynomes de degré au plus égal à mn, les s;(u) des fonctions entières quelconques, ainsi que les A;(3) et B;(3). Soit e"! le plus grand des ordres de grandeur des A;(z) et et? celui des B;(z3).
S1 la condition
FECGIE< MUC) ou HOT ER COS
est réalisée dans une série d’intervalles d’étendue totale convenable, nous n'avons pas besoin d'éliminer toutes les transcendantes qui figurent dans (25); il suffira d'éliminer seulement les A;(3) pour être ramené au théorème de M. Borel. Dès lors, on fera une étude analogue à celle du paragraphe précédent et l’on arrivera
aux conclusions :
1° Le nombre des éléments de l’ensemble (E) est au plus égal à m.
2° Le nombre des équivalentes à une certaine valeur de u est au plus égal à m.
3° Le nombre des valeurs exceptionnelles non équivalentes et autres que(E) est au plus égal au plus grand des nombres m et v.
Conclusion. — Toutes les fonctions w(z) définies par une équation de la forme (27), à un nombre infini de branches, n’admettent qu’un nombre fini de valeurs exceptionnelles qui ne dépasse pas le plus grand des nombres 2m°?+1 et (m+v)m+i(t).
1. Je termine ces considérations par les remarques suivantes :
I. Si dans l’équation (27) les g;(u) sont, ainsi que les o;(u), des fonctions entières quelconques (transcendantes ou non), l’ensemble (€) est, en général,
(1) Nous pouvons même affirmer que la limite supérieure est le plus grand des nombres
PH M HI et M+mMmY+I, puisqu'il n’y a pas lieu de considérer des équivalentes aux valeurs exceptionnelles (E).
infini et dénombrable, n'ayant qu’un point limite, l'infini; mais la densité des valeurs exceptionnelles (le nombre de celles qui ont un module inférieur à R) dépend surtout de la nature des qi(u).
Ainsi, l’exposant de convergence de la suite de leurs modules (quand il est fini) ne dépasserait jamais le plus grand des ordres apparents des g;(u), quelles que soient les fonctions s;(w), même d’ordre infini. En effet, on constaterait aisément que l’ensemble (+) fait partie de l’ensemble des zéros d’une fonction entière, qui
ne dépend que des qi(u).
IL. Il ÿ a un cas singulier de l'équation (27) qui échappe au théorème, qui s’y rattache; c’est le cas, où y — 1 et g,(u) est une constante; en effet, dans ce cas, l'élimination de A,(z3) conduit à une identité de M. Borel, dans laquelle les coefficients des exponentielles ne dépendent pas de w, et w: et les relations, qui doivent être satisfaites par w, et w2, seront toutes constituées par les transcendantes o;(u).
On exclura toujours ce cas.
Une telle équation est la suivante :
A(z)+ao(u)—0o.
Or, la discussion ici est immédiate : si A(z) admet une valeur exceptionnelle 4, toutes les racines de l’équation : 4 + (uw) = o seront exceptionnelles pour w(3).
Si A(z) n’en admet aucune, la seule valeur (e) pour w(z) est l’infini.
III. Enfin, profitons de l’occasion pour nous rappeler que M. Painlevé a obtenu un résultat analogue pour toutes les intégrales (d’un nombre fini ou infini de
branches) d’une équation différentielle du premier ordre, DEAD 0),
algébrique en z, w et w/. Les valeurs exceptionnelles sont en nombre fini et mises en évidence par l'équation différentielle (voir Leçons de Stockholm, p. 233 bis,
IV. Tous les théorèmes de ce Chapitre seront généralisés de la façon suivante :
On appellera valeurs équivalentes deux valeurs w, et u,, lorsque l’ordre de grandeur du rapport F(3,&,): F(z,u’) jouit des mêmes propriétés par rapport à eU) que el (vour les inégalités de la page 35; je me rapporte aux notations de cette page).
Convenons de désigner, d’une façon générale, par e(? un tel ordre de grandeur.
Une valeur w — w, sera dite exceptionnelle, lorsque F(3,w,) est de la forme
Fm) Ge) AE
Qt
34 G. REMOUNDOS.
où G(:) est de l’ordre de grandeur et0). Lorsqu'une valeur w —u, est excep-
tionnelle, toutes ses équivalentes le sont aussi. : e : ‘ ; À ce point de vue, il est loisible pour notre méthode de mettre l'équation (29)
(par exemple) à la forme
(28) a(u,s) A(z) + au, z)A:(z) +...
+ ax(u,z)Ax(z) +a(u)Bi(z)+...+ au) Biz) = 0,
les a;(u, z) étant des fonctions de z, dont l’ordre de grandeur est de l’espèce eb( et des polynomes par rapport à w.
On aura la même limite supérieure du nombre des valeurs exceptionnelles ainsi définies.
En particulier, si les A;(2) et B;(2) sont d’ordre fini avec toujours la même disüinction entre l’ordre de grandeur des A;(z) et celui des B;(z) et si p est l’ordre apparent des fonctions A;(3:), l’ordre réel de F(z3, u) ne saura être inférieur à p pour plus de N valeurs de w, N désignant le plus grand des nombres 2m?+ 1 et (m+y)m Li.
La fonction w(z), d'un nombre infini de branches, définie par (28) sera aussi dite d'ordre p et cette dénomination est justifiée par le fait que la densité des
LA 4 æ zéros des équations
us) —=a ou u(z)—=o(sz),
#(z) étant une fonction entière d’ordre inférieur à p, dépend, en général, de ce nombre p, qui est l’exposant de convergence de leurs modules. La notion de l’ordre est susceptible de s'étendre à des fonctions multiformes
assez compliquées.
V. Le théorème du n° 6 prend une forme, qui complète d’une façon remarquable celui des transcendantes algébroïdes (voir 1'* Partie, Chap. T), si l’on écrit
l'équation (25) comme il suit:
(29) A(3)+Ai(s)u + A,(s)u?+...+ A, (s)u + f(z,u)—=F(z,u)—=0o
avec
SACS u)=o;(w) B;(:) + s(u) B,(:) Aro c + oOm(u)B;(5),
les B;(4) ayant un ordre de grandeur toujours inférieur au plus grand des ordres de grandeur des A;(z).
m désigne un entier quelconque et les s;(u) des fonctions uniformes quel-
conques de &:
SUR LES ZÉROS D'UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. si)
Des valeurs (E) et des valeurs de w exceptionnelles équivalentes n'existent pas, lorsque les A;(z) sont des fonctions linéairement indépendantes; j'entends par là + . TL O qu'il n’y a pas des relations linéaires de la forme
a(5) A6(z) + a(3) A,(s) + a(3) Ass) +...+ ay 1 A, (3) + a,(z) = 0,
où les a;(3) désignent des fonctions entières croissant moins vite que e"(), dans le sens que nous avons plusieurs fois indiqué. Si de telles relations existent, nous faisons toutes les réductions possibles, de façon à rendre minimum le nombre des fonctions A;(3) qui croissent comme e°, Le nombre des valeurs (E) ne dépasse y — r.
De même, le nombre des valeurs équivalentes à une certaine valeur w,, ne dépasserait la limite y — 1.
Donnons-nous maintenant v +1 valeurs exceptionnelles n’appartenant pas à (E). D’après ce que nous venons de dire, elles ne seront pas toutes équivalentes à la même valeur, il y en aura toujours deux qui ne le seront pas et, dès lors,
l'élimination des A;(z) entre les équations
F2, do) = Qo(z) 0, F(s, &)— Q(s) et,
nous conduira à une identité
(30) A0 Qoz)ebE + À, Qi(s)eli+...+ 2, Q,(z)el#6 = À9 f (23, Uo) + À (2 Mi) +... + À (3, ww),
dans laquelle il y aura toujours un terme, par exemple, à Qu(z) et,
qui ne subira aucune réduction avec le terme Xe Qo(5) ei
Nous en concluons que, après toutes les réductions possibles effectuées dans
l'identité (30), il y aura un terme de la forme
OU, Us ce U) ee,
où O(2, Uo,U1,..., uy) est un polynome par rapport à w, de degré au plus égal
à y— 1 et dont les coefficients ne dépendent pas du terme Q,(:) ef}, parce que
36 G. REMOUNDOS.
ce terme n’a pas contribué à sa formation. Donc, si w,, us, ..., u, restent fixes, ce polynome en wy, O(3, Uo, Ur, Us, ..., Uy), ne change pas.
Donc le nombre maximum des valeurs possibles de &,, lorsque les &,, 4», ..., ty sont données, est égal à y — 1.
Le nombre lotal des valeurs exceptionnelles finies est au plus égal à 3v — 2.
Cette limite, que nous signalons ici, est inférieure à celle que nous avons trouvée ailleurs (‘). Je pense qu’elle peut être encore abaissée, mais il faut pour cela approfondir davantage les divers cas où les valeurs équivalentes se présentent.
Je n’y insisterai pas ici. Je me contenterai de signaler un cas, très général d’ailleurs, où cet abaissement est immédiat, et la limite, indiquée plus haut, se confond avec celle que nous avons assignée pour les transcendantes algébroïdes (c’est-à-dire à un nombre fini de branches).
Supposons que F(z, uw) soit de la forme (31) F(su)—=A,(z)+ Ai(s)u+...+ A, (s)u + uw + zo(z, u) —=0,
&(3, u) étant une fonction uniforme quelconque de w et entière en 3 avec un ordre
à . Fe & Mr]1—X de grandeur (par rapport à 3 et pour toute valeur de w) inférieur à el") (a étant un certain nombre positif).
Notre méthode d'élimination nous conduit alors à l'identité
(32) ho Q(s) els + à, Q,(z) el +... + 2, Q,(3) el)
— À + [lo o(S, u) + A p(s, wi) +. + op(z u)]3.
Les conditions du théorème de M. Borel étant réalisées, il faut que le second membre soit identiquement nul, puisque, quelles que soient les réductions qui auront lieu dans le premier membre (à cause des valeurs équivalentes), le second restera toujours 1rréductible.
En effet, les valeurs w4, wi, ..., u, n’appartenant pas à (E), aucune des foncuons H;(z) ne sera une constante, ou bien d’ordre inférieur à M(7) (au sens bien entendu).
Or, le second membre devient égal à À pour 4 — 0; il faut donc que
