CHAPITRE IE

QUELQUES APPLICATIONS A LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. LES POINTS D'INDÉTERMINATION INCOMPLÈTE.

1. M. P. Painlevé, dans une Note que nous avons déjà citée, a signalé l’existence des points qu’il a appelés points d’indétermination incomplète.

Si une fonction uniforme F(3) présente des points singuliers, isolés, qui ne soient pas des pôles, on sait que ces points sont des points d’indétermination complète de F(3); autrement dit, si 3 = « est un tel point et que 3 tende vers « d’une façon quelconque, F(z) s'approche autant que l’on veut de toute quantité donnée d'avance. Ce sont les points essentiels isolés de Weiïerstrass. On dit que F(z) est indéterminée pour 3 = « et le champ d’indétermination embrasse tout le plan. On sait même que, étant donné un cercle, aussi petit que l’on voudra, et de centre a, l'équation F(z) — a admet une infinité de racines, quel que soit le nombre a, sauf deux au plus. C’est le théorème de M. Picard.

Mais, si F(z3) est une fonction à un nombre infini de branches, elle peut bien admettre des points d’indétermination, dans le voisinage desquels F(3) ne peut s'approcher, autant que l’on voudra, de toute quantité donnée; le champ d'indétermination n’embrasse pas tout le plan de u[u=F(z)].

M. Painlevé a cité l’exemple

u = (logs)

où z— 0 est un tel point, et le champ d’indétermination est compris entre deux circonférences concentriques ayant l’origine comme centre.

L'autre partie du plan w est formée par des points exceptionnels, d’après la terminologie que nous employons dans ce travail.

M. Painlevé a étudié particulièrement les fonctions définies par les équations

différentielles algébriques et il a énoncé les théorèmes suivants :

Taéorème 1. — Les fonctions définies par les équations différentielles de ÿ Dr ! »

premier ordre f(u,u,z)=0 algébriques en u, w et z ne peuvent admettre

aucun point d’indétermination incomplète.

Tuéonème IL. — Les fonctions définies par les équations différentielles du deuxième ordre peuvent admettre de tels points fixes, mais pas mobiles.

Taéorims HI. — Les fonctions définies par les équations différentielles du

48 G. REMOUNDOS.

troisième ordre peuvent admettre des points d’indétermination incomplète,

fixes ou mobiles.

2. Nous avons déjà cité le théorème de M. Painlevé sur les transcendantes défi-

nies par les équations différentielles du premier ordre, (50) IV 4) = 0,

algébriques en z, u, uw’.

: Si cette équalion ne se ramène pas à une équation de Riccati ou à une

équation do

VG — P)(1— 420)

les transcendantes définies par (50) ne peuvent admettre qu'un nombre {ini de

valeurs exceptionnelles. Ce n’est que les points singuliers de l'équation P q Ï $ [

J RO 0) ee. u,— | =0 du qui peuvent être exceptionnels.

La méthode de M. Painlevé s'étend au cas où f(z,u, u’) est transcendant en z(')et w. Supposons par exemple que les coefficients soient des transcendantes entières. On en déduira que, si w — (3) est une intégrale transcendante

telle que 3 —%,(u) (?) ait un nombre infini de branches, l'équation

Ge A

admet un nombre infini de racines, sauf peut-être un ensemble dénombrable de valeurs de À.

Le point 3 =, étant une singularité essentielle isolée des coefficients de (50), ne saurait être un point d’indétermination incomplète des intégrales de cette ‘équation.

Soient maintenant deux équations différentes du second ordre TUE LU) 0, CCS Go UN) 0,

algébriques en w/ et w” et entières en 3 et u.

Si ces équations ont une intégrale commune u = w(z) à point d’indétermination incomplète, elles ne diffèrent pas, toutes leurs intégrales sont communes.

En effet, l'élimination de uw” entre elles conduit à une équation d’ordre un ou

zéro et l'intégrale &# = w(z) salisferait, ou bien à une équation du premier ordre,

(1) Voir Leçons de Stockholm, p. 234.

(2) C'est-à-dire la fonction inverse.

SUR LES ZÉROS D'UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 49 ou bien à une équation de la forme