PES

où F(3, u) est une fonction entière en z et w, ce qui est impossible. Par conséquent, le résultat de l'élimination sera identiquement nul, quelle que soit w(z).

Cela montre que les fonctions à point d’indétermination incomplète caractérisent, pour ainsi dire, les équations différentielles, du second ordre, qu'elles vérifient.

3. D’une façon plus générale, envisageons une équation d’ordre quelconque DÉPART UN EN

algébrique en u’, uw”, ..., ul et entière en 3 et w.

Si une intégrale de cette équation u — w(z), ayant une indétermination incomplète à l'infini, est commune à une autre équation (E) de même espèce et d'ordre inférieur (ou égal), il y aura une troisième équation du second ordre, au moins, dont toutes les intégrales soient communes aux deux premières. La chose se démontre facilement par des dérivations et éliminations successives; l'équation, qui fournit toutes les intégrales communes, ne peut être ni d’ordre zéro ni

d'ordre un.

4. On doit à M. Poincaré un théorème général de la théorie des fonctions (voir Bulletin de la Société mathématique, 1. IH). Ce théorème consiste en ce que, étant donnée une fonction multiforme quelconque # — #(3), nous pouvons trouver une troisième variable £, telle que w et z puissent s'exprimer uniformément en

fonction de t LH (0) Bt A ().

Toute valeur exceptionnelle w, de H(#£) le sera aussi pour la fonction multi-

forme uw — (2); en effet, l'équation uy—=H(6)

n’admettant qu'un nombre fini de racines £,, 42, ..., l5, à wÿ ne correspondra qu’un nombre fini de valeurs de z. La proposition inverse n’esl pas vraie; &o peut être une valeur exceptionnelle de ©(3) sans l'être pour H(6).

Si donc, la fonction multiforme w—v(z) n’admet qu'un nombre fini de valeurs exceptionnelles, il en sera de même de la fonction uniforme H(4).

Dans les Chapitres précédents de ce travail, nous avons établi que toutes les fonctions u — #(:), qui possèdent un nombre fini de branches, n'admettent qu'un

R° sl 7

50 G. REMOUNDOS.

nombre fini de valeurs exceptionnelles; il en est de même d’une classe étendue de fonctions d’un nombre infini de branches.

Grâce à la remarque que nous venons de faire, la fonction uniforme H(+), correspondant à ces fonctions, jouit de la même propriété.

Nous voyons donc comment il est utile de savoir si une certaine fonction multiforme admet un nombre fini ou infini de valeurs exceptionnelles, si l’on veut avoir un renseignement précieux sur sa représentation uniforme.

Si H(4) admet un nombre infini de valeurs exceptionnelles, il en sera de même

deu — o(s).