CONTRIBUTION À LA THÉORIE DES FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE

1. M. Borel a, le premier, introduit dans la théorie des fonctions entières la notion importante de la croissance régulière. Une fonction entière H(:) est dite à

croissance régulière, lorsque l'expression

log logM(r) logr a un ordre d’infinitude déterminé.

rn étant une quantité tendant vers l'infini avec n, l’ordre d’infinitude de 7, est déterminé, s’il existe un nombre À tel que, quelque petit que soit e donné d’avance,

il existe un nombre mn tel que l’inégalité n > m entraîne les inégalités RL r,< nt,

En supposant que l’ordre apparent p de H(z) n’est pas entier, M. Borel à démontré les deux théorèmes suivants, qui montrent l'importance de cette crois-

sance régulière (voir Leçons sur les fonctions entières, Note IL, p. 105).

1° Sr l’ordre d'infinitude de r, est déterminé, la fonction H(z) est à croussance régulière; 29 Sr la fonction H(z) est à croissance régulière, l’ordre d’infinitude

de rh est déterminé, r, désignant le module du zéro a, de rang n.

Les fonctions à croissance irrégulière n’ont pas été, jusqu'ici, rencontrées d’une facon naturelle, il est cependant possible de former des fonctions entières, dont la croissance présente des irrégularités considérables. M. Borel a indiqué un moyen de former une fonction entière w(z) d'ordre deux, dont le module maximum M(r) soit, dans une infinité d’intervalles d’étendue aussi grande que

. rie < .1+E . 7 + ; .

l'on veut, inférieur à e” , et, dans une infinité d’autres intervalles d’étendue aussi €

fe 4 N LP grande que l’on veut, supérieur à e” .

2. Je me propose, dans ce Chapitre, la tâche de compléter en quelques points

les résultats de M. Borel.

Je commence par exposer une série de théorèmes très utiles dans la suite.

Taéorème 1. — H,(z) et H,(z) étant deux fonctions entières à croissance

5o2 G. REMOUNDOS.

régulière et d’ordre p non entier, leur produit r(:) = H,(:)H,(2) sera aussi

à croissance régulière.

Premier cas. — Supposons que H,(2:) et H,(2) n'aient pas de zéros communs.

Soit a,, un zéro de H,(z)etr,, son module; on aura

1 1 (1) nr nid,

à partir d’une certaine valeur de n,.

Si n désigne le nombre des zéros de H:(2), qui ont un module inférieur à r,,, le rang du zéro a,, dans la suite des zéros du produit (2), rangés par module croissant, sera égal à 24 + no.

Ceci posé il est impossible que l’on ait

Tr > (+ m2) ;

pour une infinité de valeurs de n, croissant indéfiniment (e étant assez petit). En effet, s’il en était ainsi on aurait

€ Rs

ue (2) n° te (rit) ;

pour une infinité de valeurs de n, croissant indéfiniment.

Or, il est clair que ces inégalités sont impossibles. Il en résulte que l’on aura

(n, + n») < Fr (ri + ni Ÿ

En

à partir d’une certaine valeur de ñ; + no.

On démontre la même chose pour les zéros de H,(2), c'est-à-dire qu'ils possèdent un ordre d'infinitude déterminé par rapport à leur indice, lorsqu'ils sont considérés comme zéros du produit r(z) et sont rangés avec ceux de H,(3) par module croissant.

Par conséquent, l’ordre d’infinitude du module r, des zéros a, de la fonction entière r(z) est déterminé. Il en résulte, d’après le premier théorème de

M. Borel, que cette fonction x(z) croît régulièrement. C0 5. D.

Second cas. — Dans le second cas, où il y a des zéros communs des H,(z) et H:(2), la démonstration est absolument la même; dans ce cas n, désignera le nombre des zéros de H,(z3) de module inférieur à rh, et distincts de ceux de H, (2). Dans le cas où tous leurs zéros sont communs, la démonstration de notre théorème est immédiate, en vertu du premier théorème de M. Borel. Il en est de même du

cas où les zéros de H, (3) ont respectivement le même module que ceux de H, (3).

TaéorRkme Îl — H,(z:) et H,(z) étant deux fonctions entières d'ordre

entier p, st le module de leurs zéros a un ordre d’infinitude déterminé, il en

est de même de leur produit (3) —M,(:)H,(4), qui crottra régulièrement.

La démonstration est identique à celle du théorème précédent.

Il est évident que ces deux théorèmes s'étendent au cas d’un nombre quelconque de fonctions entières.

Taéonème IL. — Sy /e produit r(z) d’un certain nombre de fonctions entières croît itrrégulièrement étant d'ordre p non entier, l'en est de même de tous les facteurs H;(:) qui ont le méme ordre ».

Soient (s); H20%), H, (2) les fonctions entières, ré He) (C):

Supposons que H,(z) ait le même ordre o (non entier) que r(z). Soit a, un zéro de H,(z); il aura, dans le produit r(3), le rang r + 0,, 0 étant un nombre positif ou nul.

r(3) croissant irrégulièrement, on aura 7}

pour une infinité de valeurs de n croissant indéfiniment, d’après le premier théorème de M. Borel. Par conséquent on aura, à plus forte raison, ee ne n° ;

ce qui montre immédiatement que l’ordre d’infinitude de 7,, relativement à la fonction H,(:), n’est pas déterminé. On en conclut, d’après le deuxième théorème de M. Borel, que H,(z) croît irrégulièrement.

Il en est de même de tous les facteurs H;(3) qui ont le même ordre p.

Dans le cas où o est un nombre entier, l'hypothèse de la croissance irrégulière du produit r(z) ne nous conduit (pour le moment) qu’à la conclusion que l’ordre

d’infinitude de r,, relatif à tous les facteurs H;(:) d'ordre p, n’est pas déterminé.

Corollaire 1. — Le produit de deux fonctions entières d'ordre p, dont l’une croît régulièrement et l'autre croît irrégulièrement, est une fonction entière à croissance régulière (b est supposé non entier). En effet, si le produit croissait irrégulièrement, il devait en être de même de deux facteurs, suivant le théorème

précédent. D'une façon générale, nous avons le théorème suivant :

Tuéorëme IV (!). — Si une fonction H,(z:), à croissance régulière et

(1) Ge théorème, qui est presque identique au corollaire [, résulte aussi du théorème précédent. Mais nous en donnons une seconde démonstration, qui s'appuie sur un procédé

remarquable.

54 G. REMOUNDOS.

d’ordre p, non entier, est multipliée par une fonction H,(z) d'ordre non supé-

rieur à p, le produit est toujours une fonction à croissance régulière.

Tout d'abord, les zéros de H,(:), considérés comme zéros du produit#(s), ont un module d’ordre d’infinitude déterminé -; puisque, si r,, désigne Île module

d’un zéro a», de H,,(3), l'inégalité

Q étant un nombre positif ou nul.

Je dis qu’il en est de même des zéros de H,(:); en effet, soit 7, le module d’un zéro b,, de H,(z) et a, le zéro de H, (3), qui vient immédiatement après b,,, et a un module 7, supérieur à 74.

Si, pour fixer nos idées, nous supposons que H,(:) et H,(z) n’ont pas de zéros

communs, 0h, aura le rang n3+ n — 1, considéré comme zéro de r(z). On a

(5) Pr On tar D)

ce qui détermine l’ordre d’infinitude du module des zéros de H,(z), considérés comme appartenant au produit r(z). Dès lors, le premier théorème de M. Borel nous apprend que la fonction x(2) est à croissance régulière.

Ce procédé pourrait servir à démontrer d’une façon directe le corollaire précédent.

Le cas où il y a une infinité de zéros communs se ramène au précédent; il suffit pour cela de décomposer H,(3) comme il suit :

K(:) désignant le produit de facteurs primaires, correspondants aux zéros communs. Nous pouvons alors écrire

rs) = H(s)K(:) G (5) = Gi(s) G:(3) avec

il est clair que G,(2), qui a des zéros multiples, croît régulièrement et que G:, (z) et G:(z) n’ont aucun zéro commun,

3. Nous allons maintenant établir quelques théorèmes nécessaires pour notre but. Considérons deux fonctions H,(z) et H:(2) d'ordre respectivement égal à o,

CL Po. ;

Taéorème V. — S5 Pi po et H,(:) est à croissance régulière, la somme

D(z) = H;(z) + H (3) est toujours à croissance régulière.

La démonstration est bien facile :

Désignons par Z, l’affixe d’un point de la circonférence de rayon 7, où le module de H,(3) devient maximum.

On a les inégalités RACE MITA EC | S(Z,) | = | H, (2;) | Fee | H, (Z,) | = A era

il vient | S(Z,) | > coli — prfatiee re]

pe, étant plus grand que p,, la quantité entre parenthèses tend vers l'unité lorsque r croît indéfiniment, et, à partir d’une certaine valeur de r, cette quantité

est supérieure à un certain nombre fixe

vient pri

RON ET MRC Rp

ñ élant arbitrairement petit avec e.

M(7) désignant le module maximum de S(:) pour |3|[—7,ona

Mir) SZ) M7) = ete

Donc, la fonction S(z) est à croissance régulière.

3 bis. — Supposons maintenant que p, — p2 et qu'une, au moins, des fonctions H,(z) et H,(:) est à croissance régulière, par exemple H, (3). Nous allons considérer encore les points Z,, définis plus haut comme maximums

du |H,; (z)| sur le cercle de rayon r.

Nous pouvons diviser en trois classes les cercles C, de rayon 7. Les cercles de la

première classe satisfont à l’inégalité [H,(2,)|<]H;(2,) | ceux de la deuxième à l'inégalité

HDI (2),

56 G. REMOUNDOS.

el ceux de la troisième à l'égalité LE, (2) =1H(2,) |.

Un cercle C, peut appartenir à plusieurs classes. D'une façon plus commode, envisageons une infinité de valeurs de 7 de module croissant indéfiniment

los ris los ECHO ln

Quatre cas peuvent se présenter :

Premier cas. — Le module du rapport A reste, à partir d’une valeur 1 l'm de m, inférieur à un nombre g, plus petit que l’unité. On a : . nt H, (Z,) ACIER TOTAL AIT EEE I Or I > H(Z,,) ;

à partir d’une certaine valeur de m.

Il vient

[SC EH (Z te) ten

en vertu de l’inégalité

MOYENNE cree,

conséquence de la croissance régulière de la fonction H, (z). n est arbitrairement petit avec &.

S1 nous désignons par M(r,,) le module maximum de S(z) sur la suite des

cercles OC, Cr, .-., Cr, ..., on a évidemment

5 42 M(r,.) Z | S (Z»,.) | + E°m à partir d’une certaine valeur de 7».

H, (Zr,,)

Deuxième cas. — Le module du rapport HZ, ) reste, à partir d’une valeur 1 ln

de m», supérieur à un nombre g, plus grand que l'unité.

Dans ce cas, on écrira

f ) H, (Z,,.) SEE D [Re

ÉTAIT: AU) (: ue =)

SUR LES ZÉROS D’UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 27 Or [EB(2,)1>41H(2,)1>e"",

il en résulte

[SZ )|> era — :) era

Troisième cas. — Le module du rapport = PP H, (LL)

tend vers l'unité, lorsque m

croît indéfiniment.

Dans ce cas, on a

[HB(2,,)1=G+a)|H(Z,,) |,

: I + tendant vers zéro avec —.

Dès lors, l’inégalité

HZ.) 1> er

entraînera nécessairement les inégalités

MÉCANNEC TES

(6) HV AT AU AN EEE

Or, on a identiquement

()+B()P [HG)—H (a) (7) (5) = Bi() (5) = BE RO RERO,

à PRES) EU à . . . .

Pour que le module du IT(3) soit supérieur à e"# , il faut qu'il en soit ainsi

d'un au moins des termes du second membre, et par conséquent d’une des

fonctions

En effet, si pour une infinité de valeurs de m ces deux termes du second membre de l'identité (3) étaient inférieurs en module de er ® (e, étant un nombre positif), le premier membre serait inférieur à er“ pour cette même infinité de valeurs de m, n, étant un certain nombre positif, ce qui est en contradiction avec l'inégalité (6).

Ainsi, en posant

58 G. REMOUNDOS.

nous arrivons à la conclusion que l’une au moins des inégalités

(S) S(2,)—et, (9) AGDE Cu

doit être satisfaite à partir d'une certaine valeur de m, n étant arbitrairement pelit.

Quatrième cas. — Le module du rapport H,(Z,,,) : H,(Z,,) oscille autour de

l'unité, devenant tantôt plus grand et tantôt plus petit que l'unité, sans tendre vers

aucune limite déterminée.

EN Q Cat ® er. (27) Ce cas se laisse ramener au précédent, puisque la quantité 1 — HZ, ) IN . . H, (2...) or , ? Re grandit visiblement lorsque le module HZ) s'éloigne de l’unité, de sorte (Ar

que lune des inégalités (8) et (9) sera satisfaite sur la suite des cercles GC, s’il en est ainsi sur une autre suite de cercles Cr, faisant partie de la première et qui remplit la condition suivante : le module du rapport H, (2, ) : H, (Zr,.) tend vers l’unité lorsque 7» grandit indéfiniment.

Dans les deux premiers cas, les inégalités (8) et (9) sont satisfaites toutes les deux. Il est clair que nous ne pouvons pas tirer de la discussion précédente qu'une, au moins, des fonctions S(Z) et A(Z) est à croissance régulière; on comprend bien qu’il peut y avoir une infinité de cercles sur lesquels il n’y ait que l'inégalité (8) qui soit satisfaite, et une autre infinité de cercles sur lesquels il arrive le contraire, de sorte que l’on ne peut pas affirmer qu’une des inégalités (8) et (9) est satisfaite à partir d’une certaine valeur de r.

S1 02 << 0, les deux derniers cas ne se présentent pas, à cause des inégalités Lite Ly—E l'AC OR E REZ?) | pour EEE,

qui sont satisfaites à partir d’une certaine valeur de r (!). Il en résulte que les deux fonctions S(3) et A(z) sont toutes les deux à croissance régulière (c’est le théorème V).

De même, si l’une des fonctions S(:) et A(z) est d'ordre inférieur à 5, — +»,

l’autre est sûrement à croissance régulière. Il en est de même si le produit H,(z) H:(2) est d'ordre inférieur à p; = p2; on peut alors affirmer que les deux fonctions S(3) et A(:) sont toutes les deux à croissance régulière. En effet, si le

produit est d'ordre p << p;,, on a

IH) (0) ets ere pour ll

(1) D'une façon plus précise, le rapport | H:(Z,)|:|H,(Z,)] tendra vers l'infini avec r.

à partir d’une valeur de 7, et, par conséquent, les deux derniers cas ne sont pas réalisables. On s’en rend aussi compte à l’aide de l'identité (5).

Exemple :

Hs) es, Hé) =c#290/f),

P(s) étant un polynome de degré e, et Q(z) une fonction entière quelconque d'ordre 5 inférieur à ep. Le produit H,(3) H;(3) = Q(z) ayant un ordre inférieur à celui de H,(z) et H,(3), nous sommes sûrs que ces deux fonctions S(z)= el + Q(z)e Pet A(3) = 69 — Q(z)e-"® sont à croissance régulière.

4. Dans le paragraphe précédent nous avons étudié la croissance de la somme de deux fonctions entières au point de vue de sa régularité. Nous nous sommes borné à supposer que l’une d’entre elles est à croissance régulière.

Il est naturel de se proposer le problème suivant :

La somme de deux fonctions H,(z) et H,(z) du même ordre 5 et à crois-

sance régulière est-elle une fonction croissante régulière?

Nous en donnerons une réponse plus loin.

Dans le n° 2 nous avons étudié le produit de deux fonctions entières d’ordre non entier au point de vue de la croissance régulière ou irrégulière.

D’après le théorème I, le produit de deux fonctions entières d’ordre non entier et à croissance régulière est lui-même une fonction à croissance régulière.

En est-il de même du cas où l’ordre de ces deux fonctions est un nombre entier 0? C’est le problème que je me pose ici.

Voici d’abord des cas particuliers où l’on peut sans peine y répondre.

(a). H(z:) étant une fonction d'ordre p et à croissance régulière, son produit par une exponentielle e"®, P(z) désignant un polynome de degré Æ inférieur à p, est une fonction qui est aussi à croissance régulière.

En effet, soit toujours Z, l’affixe d’un maximum du | H(2)| sur la circonférence

de rayon r; H(z) étant à croissance régulière, on aura

AZ AT | eV(£r) | — PS € à parur d’une certaine valeur de 7.

Il vient | TNT JE at

TÉRE—— pr'A+E — po ( 1 — rA CHE

REMOUNDOS.

: Dr 2 I k — : étant négatif, la quantité r#-P+?: Lend vers zéro avec - et l’on aura FÀ

lKEZ,)| = HZ) et] = ens

n étant arbitrairement petit.

Si M(r) désigne le module maximum de H(:), on aura C0 F0.

M(r)2|M(Z)| > ef 7

(B!). Considérons maintenant une fonction H(z3) de genre zéro, et soit

HET ie)

son développement en produit infini.

An ln eYn! ;

[f GC

Soient le module du facteur 1 — sera égal à /2 2 2 , | + — sin?(0— y;),

Hi /l: — —Cos(0 — y;) Vn 2 r?

, ma =\/ 1 — COS(0 — y,) , ln la

Il est clair que, sur chaque cercle de rayon r, les points, où le module du facteur 1 — — devient maximum, correspondent aux arguments

O—ya+(2k+i)r.

Supposons que l’on ait toujours N— Yu (26 +1)r,

quels que soient les indices ANG ne Dans cette hypothèse, le module des divers facteurs 1 — — devient maximum

aux mêmes points; lorsqu'un facteur devient maximum (en module), il en est de

même de tous les facteurs.

Donc les maximums de la fonction H(:) se trouvent sûrement sur les droites

5 étant un entier quelconque.

x ) à SUR LES ZEROS D UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. O1

Soit maintenant une autre fonction H,(3) de genre zéro aussi et à croissance régulière, ainsi que H(z:). Leur ordre peut être un nombre entier, égal à un (QE Leur produit est visiblement à croissance régulière; cela tient à ce que ces deux fonctions deviennent simultanément maximums (en module) sur chaque cercle de rayon 7.

En effet, si Z, désigne l’affixe d'un maximum de [H,(:)|, ce sera un maximum de tous ses facteurs primaires, pourvu que 7 soit assez grand, et il en sera de même des facteurs primaires de H,(3).

On aura, par conséquent, à partir d’une certaine valeur de r,

RACGAN ESS NE AU NES CE CON TR T0 n étant arbitrairement petit avec « el &,.

Nous en déduisons que H(3) est à croissance régulière. La conclusion subsisterait si H,(3)et H,(:) contenaient des facteurs exponenuels libres e4%+è remplissant quelques conditions aisées à comprendre. Avant d'aborder notre problème dans le cas le plus général, je vais établir quel-

ques théorèmes préliminaires.

Taéorime VI. — w(z) étant une fonction d'ordre p à croissance irrégulière æ $ + ? 5 L S LA —— LA Lo et H(z)une fonction quelconque d'ordre o, <<, la somme S (z)=vw(s)+H(z:) et le produit H(z) = w(z)H(3) sont aussi à croissance wrrégulière.

La première partie du théorème se ramène immédiatement au théorème V, parce que, si S(z) croissait régulièrement, la somme S(z:) — H(z) —w(3) croitrait irrégulièrement, ce qui est en contradiction avec le théorème V.

Quant à la seconde partie, nous ferons les raisonnements suivants : il ÿ aura un nombre e tel que l’on ait

HOSe É pi tE CEE SANTE CE) ER, la première pour une infinité de valeurs de 7 de modules croissant indéfiniment, et la seconde à partir d’une certaine valeur de 7.

Nous en tirons

MÉNAGER 0 pour VAE

x nt 0,+E* r0—E x Sy =?

parce que le rapport T'PANE ® 7 tend vers zéro avec -

(1) Nous supposons, bien entendu, que les zéros de H,(3) jouissent de la même propriété que ceux de H(z); alors le produit H(3) H;i(2) sera à croissance régulière, même lorsqu'il

n’en est pas ainsi de H;(3)

G2 G. REMOUNDOS.

: UN: La seTn , Il en résulte que le module maximum de IT(3) reste inférieur à e” pour une infinité de valeurs de 7, et, par conséquent, IT (3) est à croissance irrégulière.

Ce théorème subsiste-t-1l dans le cas où H(z3) est du même ordre que w(z)?

5. Les résultats intéressants établis par M. E. Maillet dans son Mémoire : Sur les fonctions entières et quast-entières à croissance régulière, etc. (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2° série, t. IV) nous permettent d’étabbr qu'il en est ainsi dans des cas très étendus.

M. Maillet a cherché à voir dans quelle limite la loi de répartition des coefficients 4» qui satisfont à l'inégalité

m I Va m> Pet.

influe sur la régularité de la croissance d’une fonction donnée w(:)

Y o(z) = 26e Il est arrivé aux théorèmes suivants :

& NT Ce A |A Fe 9 x Supposons que celte fonction #(:) soit d'ordre p. On sait qu'il y a, pour 77 très grand, une infinité de coefficients &,, tels que

UV rm J (T) Un >= 1 2 = +E m°

£ étant un nombre fini, aussi petit que l’on voudra.

Critères de M. Maillet. — 4!. Si est un nombre positif, qui croît moins vite avec m que m(logm)!#— m (x positif aussi petit qu'on veut), et si, sur Ô coefficients consécutifs à partir de &,,, il y en a toujours un qui satisfait à l'inégalité (T);

à partir d’une certaine valeur de m, la fonction ©(z) est à croissance régulière.

B'. Si 0 croît plus vite que m'+*8— m (B un nombre positif arbitrairement petil) pour une infinité de valeurs de m satisfaisant à (T) dès que » dépasse une certaine limite, la fonction &(:) est à croissance irrégulière.

Nous allons faire une application du premier critère.

Soient