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façon; J'entends par là que, si e"0 et e°:07 désignent le module maximum de

(1) I y a aussi d’autres travaux plus récents, que je citerai au cours du travail.

deux fonctions H;— H}, on a

em er) elM,(r)]

aussi petit que soit e, à partir d’une certaine valeur de 7. On se trouve dans le second cas, lorsque l’une des différences H;(3) — H;(3)

croît plus vite que toute puissance des autres (1).

2 Lcd A 4 A . . .

4. J'ai été amené à entreprendre ces recherches par suite d'une remarque faite par M. Painlevé dans son cours à l’École normale sur les fonctions abéliennes (année 1902-1903), auquel j'avais l'honneur d'assister. M. Painlevé a énoncé

comme vraisemblable la proposition suivante :

Une fonction ayant » branches dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé (on entend par là qu'il n'y a pas d’autres singularités essentelles dans un cercle assez petit décrit autour de ce point 3 = a) prend dans

le voisinage de ce point toutes les valeurs, sauf 2% au plus.

Il a même ajouté que parmi les deux voies qui pourraient nous y conduire : la voie de M. Picard et la voie de M. Borel, c’est la première qui est plus aisée. Suivant cette indication de mon maître, j'ai commencé par la voie de M. Picard, mais, les résultats n’étant pas satisfaisants, j'ai dû entrer dans la voie de M. Borel, ce

qui devail réussir.

Je suis heureux de pouvoir ici rendre publiquement témoignage de la profonde reconnaissance que je dois à la France, à ses savants, à la science desquels j'ai eu l'honneur de puiser.

Si J'ai pu accomplir jusqu’au bout la tâche que je me suis proposée, c'est surtout grâce à l'École Normale supérieure qui m'a fourni une excellente hospitalité et ses avantages scientifiques bien connus.

J'adresse ici mes remerciments respectueux au directeur de l’École, M. Perrot, dont le philhellénisme a développé une sollicitude constante à l’égard des élèves hellènes de l’École; au directeur de la Section scientifique, M. Jules Tannery, et à tous mes maîtres de l'École.

En particulier, j'adresse mes vifs remerciments à MM. P. Painlevé et Émile Borel pour leurs conseils et pour l'accueil excellent qu'ils ont bien voulu faire à

mes recherches.

(1) Ilest, d’ailleurs aisé de voir que ce cas se laisse ramener immédiatement au précédent par la décomposition de l'identité en plusieurs autres appartenant au premier cas.

6 G. REMOUNDOS.