CHAPITRE L

EXTENSION DU THÉORÈME DE M. PICARD AUX FONCTIONS A UN NOMBRE FINI DE BRANCHES.

1. Une fonction « de 3, ayant un nombre y de branches, satisfait à une équation de la forme

(1) f(z,u)=u+A,(z) ut + A,(z) w?+...+ A, (3) u + A,(s) =,

où A,(3), A:(3), ..., A,(z) désignent des fonctions entières ou méromorphes de 3.

Suivant une expression déjà employée (vorr, par exemple, les Leçons de

M. Borel sur les fonctions entières et méromorphes) appelons (1) valeur excep-

tionnelle de la fonction u — (2) à v branches, définie par l'équation (1), toute

valeur uw — u, telle que léquation (3) = n’admette qu’un nombre fini de racines; ilest clair que, alors, il en est de même de

l'équation

Nous allons démontrer ici que le nombre de ces valeurs est finit et jamais supérieur à 2y.

9. Nous nous bornerons d’abord à un cas particulier où la démonstration est très élémentaire, c’est celui où l’ordre (ou le genre) des A,(z), ..., A,(z) est

(1) D'une façon plus précise nous démontrerons qu’une telle valeur de & doit être considérée comme exceptionnelle.

feni. Nous adoptons la définition bien naturelle donnée par M. Borel pour l’ordre

d’une fonction méromorphe (1).

G;(z) = - le GET) plus grand des ordres de Gi(z) et G:(z), et nous démontrons aisément que

l’ordre ainsi défini reste invariable par les substütutions de la forme

Nous appelons, avec M. Borel, ordre d'une fonction méromorphe

Se M; f(z)-+ N; À Ge) OST res.

où M,, N;,, M, N; désignent des fonctions entières d’ordre inférieur.

M. Borel, par la considération de l’ensemble de telles transformées d’une fonc- Uon méromorphe, a présenté le théorème de M. Picard (étendu aux fonctions méromorphes) sous une forme bien élégante (Mémoire cité, Annales de l’École normale, 1901), ainsi que ses généralisations.

Nous pensons qu'il est bien commode d’appeler transcendantes algébroïdes à y branches d'ordre p toutes les fonctions w(z) définies par une équation de la forme (1), & étant le plus grand des ordres des coefficients A(3). En admettant celte définition, il est facile de prouver que l’ordre ainsi défini reste invariable lorsqu'on effectue sur & une transformation homographique. Si nous posons, en effet,

D a —fBy 0,

æ(z) vérifiera une équation de la forme AN + a (z) MH as) A+... + a, ,(3)# + a (z) = 0,

où les a;(3) sont des expressions linéaires des A;(3) très faciles à obtenir. Les deux termes des fonctions méromorphes a;(3) sont au plus d'ordre p et, par conséquent, la transformation homographique n’a pas élevé l’ordre. Elle ne peut non plus l’abaisser, car alors la transformation inverse, qui est de même nature, l’élèverait.

La propriété d’invariance subsiste si Pon suppose que a, $, y, à désignent, au

lieu des constantes, des fonctions entières d’ordre inférieur à p.

3. Après cette digression, revenons à notre sujet. Nous remarquons d’abord que nous pouvons nous borner, sans restreindre la

généralité de la question, au cas où les A;(3) sont toutes des fonctions entières,

(1) Voir Contribution à l’étude des fonctions méromorphes (Annales de l'École nor-

male, 1901) et ses Leçons sur les fonctions méromorphes.

8 | G. REMOUNDOS.

car une valeur exceptionnelle (w,) nous suffit pour ramener à ce cas le cas contraire, en faisant la transformation OU (Se

Plaçons-nous donc dans ce cas et remarquons que l'infini et toutes les valeurs de u, pour lesquelles f(3, u) est une constante ou un polynome, sont bien des valeurs exceptionnelles. Ces valeurs, quand elles existent, se calculent algébriquement, parce qu'elles ne dépendent pas du tout de la nature des transcendantes qui figurent dans l'équation (1). Il est donc tout naturel de les distinguer des autres, qui sont pour ainsi dire értrinsèques. Les premières pourraient être appelées formelles.

Nous appellerons (E) l’ensemble des valeurs de w pour lesquelles f(z, u) soit une constante ou un polynome et nous démontrerons que le nombre de toutes les autres valeurs exceptionnelles ne dépasse jamais le nombre y, lorsque toutes les A;(z) ne sont pas des polynomes.

Soient, en effet, wo, WU, U2, -«., Uy, Y +1 telles valeurs : on aura

f(s, UN P,(2) CL JG )= Pie) eur,

Ce = Py(e) ed,

Qo(z), Qi(z), ..., Q,(s)et P,(z3), P,(z), ..., P,(z) désignant des polynomes, les premiers de degré au plus égal à p.

En éliminant A;, A2, ..., À, entre ces y +1 équations (ce qui est toujours

possible), on arrivera à la relation (3) do P(s) ed + a P,(z)e +... + P,(s) ed — à,

où l’on a

; ui Let DEUST u A NV 9 1 ui Din l'OIT: u CREME RTE QT NS ee D— » an DU UE RERO T SR 2 | (ME TA uè SAUT A M TE

Après cette transformation, les coefficients n'auront pas des pôles dans le domaine de infini; pour qu'ils deviennent des fonctions entières proprement dites, il faut faire encore la

Re” SUR LES ZÉROS D'UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 9

Nous distinguons deux cas :

1° Aucun des polynomes Q(z) n’est une constante; alors, quelle que soit la réduction qui puisse avoir lieu dans les termes du premier membre de (3), le terme algébrique (qui n’a pas d’exponentielle) sera toujours égal à #, quantité essentiellement différente de zéro. Quant à la réduction dont je viens de parler. elle arrive dans le cas où il y a des exponentielles dont le rapport est un polynome ; cela est évidemment impossible lorsque les fonctions A4, A», ..., À, sont linéairement distinctes, j'entends par là qu’il n’y a entre elles aucune relation linéaire à coefficients polynomes.

2° Il y a des polynomes Q(z) qui sont des constantes; il est clair que cela ne se présentera pas, puisque aucune des valeurs &o, &, ..., uy n'appartient, par hypothèse, à l’ensemble (E).

On arrive donc, dans tous les cas, à une relation de la forme (4) gta )eU+ ge E + qu(a)eB ++ guise g(3) (a),

les gi(z) et Q;(z) étant des polynomes, dans laquelle g(z) n’est pas identiquement nul. Une telle relation est impossible; son impossibilité est un cas particulier de la proposition fondamentale de M. Borel et se démontre par une voie élémentaire, sans qu’on ait à faire usage de la théorie générale des fonctions croissantes.

L'impossibilité en question est évidente dans le cas de » — 0; pour la démontrer en général, il nous suffit donc de montrer que l’identité (4) entraîne une identité analogue ayant un terme de moins et dont les coefficients (ainsi que le second membre) ne peuvent être nuls que si ceux de lidentité (4) le sont. Pour montrer cela, il suffit de diviser les deux membres par g(3) et prendre la dérivée

du premier membre ainsi obtenu. On aura

NN q q q q q

Or, l'identité

FGis \" Q !

q q entraîne

DEC (CEACoNS I):

ce qui est évidemment impossible si g, et q ne sont pas identiquement nuls.

transformation æ — > E(z) désignant un polynome. Mais cette dernière transformation

ü) E(z) n’est pas tout à fait nécessaire; on pourrait bien s’en dispenser et alors les P;(3) des formules (2) désigneraient des fonctions rationnelles au lieu de polynomes.

ie 2

10 G. REMOUNDOS.

Ainsi, l'identité (4) entraîne

Jo— 1—=..:—= In —9O;

ce qui n’est pas, el, par conséquent, notre théorème est bien démontré.

4. Des raisonnements analogues nous permettent d'établir l'impossibilité de (4), dans le cas où les Q;(3) sont des fonctions entières de genre (ou d'ordre) fini. Il suffit d'appliquer la propriété bien connue d’une fonction Q(z) d’ordre fini o, d’après laquelle, quel que soit e donné à l’avance, il existe un nombre R

tel que l'inégalité FAR

entraîne

RUES tandis que l'inégalité

M(r) = C1 ER

est vérifiée pour une infinité de valeurs de 7 croissant indéfiniment. Aussi le

théorème de M. Hadamard (') exprimé par l'inégalité RIT

vérifiée sur une infinité de cercles de rayons indéfiniment croissants. En effet, dans l'identité (5), le module des coefficients, à partir d’une certaine

: p—HE : : de .

valeur de r, sera plus petit que e”°7, tandis que les exponentielles e%) croissent

aussi vite que €’ ; d’une façon plus précise, on peut trouver une infinité de

valeurs de r, remplissant des intervalles d’étendue assez grande, telles que le module maximum de toutes les exponentielles en question soit supérieur à ce e élant une quantité assez petite (?).

Si l’on eflectue, sur l'identité (5), les mêmes opérations que sur (4), on arrivera à une autre de la même nature, et ainsi de suite Supposons donc que l’on ait démontré que l’inégalité (5) entraîne la nullité de tous les coefficients; il en résultera encore de la même façon que ceux de l'identité (4) seront aussi nuls.

Cela posé, on voit immédiatement que notre théorème s'étend à une classe de transcendantes algébroïdes d'ordre infini; ce sont celles pour lesquelles les coelf-

ficients A;(z) de l’équation (1) vérilient, à partir d’une certaine valeur de r,

(1) Gomplété par M. Borel dans son Mémoire déjà cité de; Acta mathematica, t. XX. (2) Nous avons, par conséquent, une identité qui réalise bien les conditions exigées par le théorème fondamental de M, Borel.

SUD 3 PAR Ç dus à cer à DU | SUR LES ZEROS D CNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. II l'inégalité (1)

Q+E PASCSNER EME £ étant assez petit.

9. On peut donner à notre théorème des généralisations analogues à celles que M. Borel a données pour les fonctions entières ou méromorphes, en indiquant ainsi la relation qui existe entre l’ordre de la transcendante algébroïde consi-

ré — Z 2 c 0 , , © dérée u — #(z:) et l’exposant de convergence de la suite des zéros de Péquation (6) (CES,

où a n’est pas une valeur exceptionnelle.

Ainsi, &/ n'y a pas plus de 2v valeurs de u, pour lesquelles l’ordre réel de f(3, u) soit inférieur au plus grand des ordres apparents des A;(3)[c'està-dire à l’ordre de &# — ©(:), conformément à notre définition]. Ou encore L’'exposant de convergence de la suite des séros de l'équation (6) ne saurait étre inférieur à l’ordre de la transcendante algébroïde u = »(3) pour plus de 2v valeurs de la constante a.

En effet, si j'appelle (E,) l’ensemble des valeurs de w pour lesquelles (3, u)

ait un ordre apparent inférieur à celui de u — (3), je peux démontrer que le nombre des valeurs exceptionnelles, qui n’appartiennent pas à (E,), est inférieur à y +1. Nous serons encore ramenés à un cas particulier de la proposition fondamentale de M. Borel, celui où les H;— H}; sont des polynomes de degré », tandis que les coefficients G(z) sont des fonctions entières d'ordre inférieur à 6 (j'emploie les notations de M. Borel, voir l’Introduction).

Par suite, le théorème précité est établi, en tenant compte du fait que le nombre

des (E,) est au plus égal à y, l'infini compris. De même, la densité des racines de l’équation lp p(s)= Q(:),

Q(z) étant une fonction entière d'ordre inférieur à p, est conforme à l'ordre

de u (3); il peut y avoir des équations exceptionnelles Ce mais leur

nombre ne dépasse jamais y.

Je n'insiste pas sur la démonstration, qui se fait toujours par la méthode de l'élimination: on arrivera encore à une identité de la forme (3), dans laquelle

les p;(z) ne sont plus des polynomes, mais des produits canoniques de facteurs

(1) Cf. Muucer, Sur les fonctions monodromes où & y branches (Comptes rendus,

i1 Mai 1903).

12 G. REMOUNDOS.

primaires d'ordre inférieur à p, et il en est de même des Go Gs +. Ays LiIANIMÉ

sont plus des constantes. On aura

1 Q(s) -. [O2 | #0) ro; 1 Q(s) - [O7

expression qui ne peut être identiquement nulle, lorsque les fonctions entières Qs, Ur 10) sontdistinctes.

6. M. Borel a établi sa proposition fondamentale en s'appuyant sur les propriétés suivantes des fonctions entières :

1° Les plus grandes valeurs et l’inverse des plus petites du module d’une foncon entière G(z), pour [z| = r assez grand, sont du même ordre de grandeur.

2° La dérivée G'(3) d'une fonction entière croît comme la fonction elle-même; d’une façon plus précise, si u(r) et k,(r) désignent les ordres de grandeur de G(z) et G'(z), les inégalités

(8) CECI RAO)E eOOTE

(a un nombre positif quelconque) sont vérifiées sur une infinité de cercles, dont les rayons remplissent des intervalles d’étendue totale assez grande; tels, par exemple, que ceux d’entre eux qui sont compris dans un intervalle donné, dépassent par leur étendue une fraction déterminée de cet intervalle.

Jusqu'ici nous n'avons ulilisé que des cas particuliers de la proposition de M. Borel, où les G() et H;— H; étaient des polynomes ou des fonctions entières d'ordre fini. Grâce à son théorème général, toutes les propositions que nous avons établies s'étendent au cas le plus général d’une transcendante algébroïde quelconque d’ordre fini ou én/feni.

Il en découle aussi le théorème suivant, qui comprend comme cas particuliers tous les précédents.

Taéorëme |. — uw; étant une certaine valeur de u, posons (0) Ce, u) = Qi(s) es,

Si les modules de l’un au moins des coefficients A,(z), A:(z), ..., A(z)

sont supérieurs à la fonction croissante er), il n'y a pas plus de 2e valeurs

de u, pour lesquelles Qi(z) croisse moins vite que el" ou plus générale-

1x ; . ne ment eb0) , « étant une quantité positive quelconque.

Ici l’ensemble (E) esi formé de toutes les valeurs de w, pour lesquelles J(z, u)

a 9 SUR LES ZÉROS D UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 13

sue D :

n'ait pas la propriété de croître plus vite que ef), et dont le nombre est au plus égal à y, l'infini compris.

Je tiens à signaler le cas simple, qui nous intéresse surtout, et qui s’énonce de la façon suivante :

Taéorème I. — Une transcendante algébroide quelconque à v branches prend dans le domaine de l'infini (qui est le point essentiel) toutes les valeurs, sauf, peut-être, 2y au plus. Si le nombre de ces valeurs exceptionnelles est

supérieur à 2y, la fonction n’est pas transcendante, elle est algébrique.

Faisons quelques remarques au sujet de ce théorème, qui d’ailleurs s’étendraient à ses généralisations.

1° Lorsqu'il n’y a aucune relation linéaire à coefficients constants où polynomes entre les A,(z), A,(3), ..., A,(z), il n’y a aucune valeur finie (E) et par conséquent le nombre des valeurs exceptionnelles finies est inférieur à y +1.

2° Lorsque le nombre de ces valeurs atteint son maximum, les coefficients À,, A AS te AC, u) se caractérisent par le fait qu'ils n’admettent aucune valeur exceptionnelle. Si un au moins d’entre eux est de la forme a + p(z)e", où a est une constante et p(z) un polynome, le nombre des valeurs exceptionnelles de u — (2) est inférieur à y. Cela tient à ce que, lorsque N (!) atteint son maximum y, les coefficients sont des sommes d’exponentielles multipliées par des polynomes.

3° Envisageons l'équation (10) UE TU IE LUE Er ju Xy—=O

où w est considéré comme un paramètre. Désignons par C le continuum formé par tous les systèmes de valeurs des æ,, æ:, ..., æ, qui satisfont à cette équation el appelons point du continuum un tel système de valeurs. Ainsi l’équation (10) représente une famille de continuums G.

Donnons-nous maintenant y fonctions entières quelconques A,(z), A,(:), ..., A,(3). Le théorème 11 peut s’énoncer sous la forme suivante utile dans plusieurs

circonstances.

Taéorème II. — Chaque continuum C de la famille considérée (à chaque valeur de u correspond un tel continuum) possède ur point, au moins,

Er, = — 0 he Le Los ou DST

(1) Pour abréger, j'appellerai toujours N le nombre des valeurs exceptionnelles de la fonc-

tion u — ?(z), autres que (E).

1/ G. REMOUNDOS.

tel que les équations A te), ASCSYT, ee ASC)

admettent une, au moins, racine commune, et même ces points doivent étre tels que le nombre total des racines communes de ces y équations soit énfint. 1 peut y avoir exception pour v, au plus, continuums C de la famille. Ilest évident que je ne tiens pas compte ici des valeurs de u, auxquelles ne correspond aucun continuum; ce sont les valeurs (E).

7. Je me propose maintenant de montrer comment l’application de la proposttion fondamentale de M. Borel, prise dans toute sa généralité, nous permet de préciser les théorèmes, que nous avons établis dans les numéros précédents, et d'abaisser la limite supérieure de N, que nous avons déterminée jusqu'ici. Je vais considérer une série de cas bien didactiques.

1° Supposons que dans léquation (1) tous les coefficients A;(z) soient des polynomes, sauf A,(:); alors N (!) est nécessairement inférieur à 2. Pour voir

cela, il suffit d'éliminer A,(z) seulement, entre les équations

CRUE pie) ei)

on aura

uf pi(s) eme — up p,(z) ei — 7(z)

g(3) étant un polynome. Cette identité entraîne w, = uw» = 0.

> Supposons encore que À,(z) soit d'ordre supérieur aux autres A;(:), mais que tous ces coefficients À,(3), A:(3), ..., A,(3) sont des transcendantes distinctes (linéairement). Alors il n’y a pas des valeurs équivalentes, ni des valeurs (E), et la méthode que je viens de citer nous permet d’affirmer que le nombre des valeurs exceptionnelles finies est inférieur à 2.

3° D'une façon générale, si A; (3), A4,(2), ..., A, (z) (s£r) sont d’ordre supérieur à tous les autres coefficients, on peut affirmer que N est inférieur au plus grand des nombres 5 +1 et K;— K, + 3. S'il y en a davantage, c’est que toutes les valeurs exceptionnelles autres que (E) sont équivalentes.

La démonstration est facile; il suffit d'éliminer A,,(3), A4 (2), ..…, A;,(s)entre

(1) Ici je ne considère pas comme distinctes deux valeurs de &, wi et w» pour lesquelles

(su)

le rapport TEEN est une constante; j'appelle équivalentes deux telles valeurs de &w, car, ë , 2)

lorsque l’une est exceptionnelle, l’autre l’est aussi.

les ç +1 équations ÉNUNIS MEANS

J (2 Us) = P6+1(3) CAE On arrivera à une équation de la forme M pPilz) ea + X, PACE CE Do (ele ne Ge),

où G(z3) est une fonction entière d'ordre inférieur à celui des exponentielles, et

À, (par exemple) est égal à l’expression suivante

LR OR Eu le PROS Le Y—k Y—k V—k kç—k k—k DR RUE OEM Er a PR AD de I rohae2 3 Sa dE O+1 7 ne V—k hu HEC LS ES ES à Hs SE oi

J’ai supposé ENS EN ENe

Si les valeurs w,, U, ..., Ugo, Uys Ne Sont pas toutes équivalentes (!), après toutes les réductions possibles du premier membre, il y aura un terme dont le coefficient est tout à fait étranger à f(3, uoys). Par suite, l’annulation de ce coefficient

(d’après le théorème de M. Borel) entraînera au moins une équation algébrique A(Uo+1) — 0

de degré K;— K, (?) au plus et dont les coefficients ne dépendent que de w,, Us, -.., üÿ. On en conclut immédiatement la proposition ci-dessus énoncée.

4, De même, dans le cas où la transcendante algébroïde est de genre infini, les mêmes raisonnements nous montrent que les valeurs exceptionnelles dépendent surtout des termes qui sont d’ordre de grandeur notablement supérieur à celui des autres. Ainsi, si les coefficients A,, A4, ..., A4 croissent plus vite que eme, tandis que tous les autres croissent moins vite que eb(”, le théorème précité subsiste et N est au plus égal au plus grand des nombres & et £ç— k, + 2, sauf le

cas où toutes les valeurs exceptionnelles sont équivalentes.

(1) J'entends par là que parmi ces valeurs il y en a une, w, par exemple, qui n’est équivalente à aucune des autres.

(2) Après la suppression de la racine 54, = 0 multiple d'ordre v — Ki.

16 G. REMOUNDOS.

On voit que l’abaissement de la limite supérieure de N, donnée par le théorème général, est possible dans le cas très étendu où existe une petite différence entre les ordres de grandeur des coefficients A;(3).

En terminant ces considérations, faisons remarquer que celte méthode est très utile dans la pratique, et peut nous fournir, dans des exemples particuliers, des résultats plus complets au point de vue du nombre et de la nature des valeurs

exceptionnelles.

Exemple. — Soit l'équation UC ES 0

Des valeurs (E) n'existent pas, ainsi que des équivalentes; N est au plus égal à 1 el il n’y a qu’une valeur exceptionnelle possible, c’est zéro; mais on voit immédiatement qu’elle ne l’est pas. Elle sera exceptionnelle, si l’on fait usage du sens

large du mot, en remarquant que l’ordre de sins est inférieur à l’ordre de e*..

Cette définition est justifiée aussi par le fait que l’une, au moins, des branches d’une transcendante algébroïde d’ordre p croît comme une fonction entière du même ordre.

Supposons, en effet, que les branches de # — ©(:) croissent comme CLS p! était plus grand que p, le premier membre de l'équation

A,(s)—=—uA, ,(3)—u?A, ,(3) —...—u

croîtrait moins vite que le second.

S1, au contraire, p' était plus petit que p pour toutes les branches, il en serait de

même de deux membres de l'équation