CHAPITRE IT

EXTENSION DU THÉORÈME DE M. PICARD AUX FONCTIONS À v BRANCIIES DANS LE VOISINAGE D'UN POINT SINGULIER ESSENTIEL.

À. Soit F(3) une fonction uniforme dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé 3 — 4. D’après le théorème de M. Picard, F(3) prend dans le voisinage de 3 —0 toutes les valeurs, sauf, peut-être, deux au plus, d’une façon précise; étant donné un cercle C de centre 4, aussi petit que l’on voudra, il existe à

son intérieur une infinité de racines de équation PET,

quel que soit le nombre à; il peut y avoir exception pour deux, au plus, valeurs de a, que l’on appelle exceptionnelles.

Si l’œ est une telle valeur, c’est-à-dire si F(3) n’a pas des pôles dans le voisinage de s —4a, le théorème de Laurent nous donne le développement suivant

de F(z)

Gi) F(2)=S(2)+ (2); S(z)=db+bi(s—-a)+b,(z—- ax) +...+b,(zs—a)+..., I to di dh D D 0

La série ©(C) a un rayon de convergence infini et représente une fonction

entière, landis que la série S(z) ne converge en général qu'à l’intérieur d’un certain cercle décrit du point 3 — « comme centre. C’est M. Hadamard (!) qui à fait, le premier, la remarque capitale que, lorsque z s'approche de «, le module maximum de E(z) croit comme la fonction entière ©(€), lorsque le module de € croît indéfiniment. On s’en rend compte par l’équation (11) où S(z) tend vers

une valeur déterminée b,, lorsque le module de 3 — « tend vers zéro.

; I ; ; La transformation 3 — 4 — - nous permet de nous borner au cas où le point

essentiel en question est à l'infini.

M. Ed. Maillet a développé et complété ce principe dans sa Note intéressante

(1) Sur les fonctions entières (Comptes rendus, 1896).

KR: 3

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déjà citée : Sur les fonctions monodromes à point singulier essentiel isolé (Bull. de la Société mathématique, 1902, fase. 1). Cette théorie, qui lui a permis de donner une démonstration directe du théorème de M. Picard, nous permettra aussi d'étendre les théorèmes du Chapitre précédent au voisinage d’un point essentiel.

Le lemme suivant sera fondamental pour notre but.

Lemme. — Toute fonction F(3) uniforme dans le domaine de l’infini (qui

est pour elle un point isolé) peut se mettre sous la forme

où pm est un entier positif ou négatif, G(z) une fonction entière K,(:) une fonction de même nature que F(3), K un entier positif ou nul, E(z) une fonction

entière et d . régulière dans le domaine de l'æ. Q.

F(z) croît comme la fonction entière E(z).

On dira que F(3) est d’ordre fini ou infini, suivant qu'il en est ainsi de E(z).

(Voir, pour tout cela, la Note plus haut citée de M. Maillet.)

2. Cela posé, envisageons une identité telle que (12) G(3) el + G,(z) el +, ,,+ G,(z) et) — 0,

où les H,(3) désignent des fonctions entières ou bien des fonctions uniformes dans le domaine de l'infini, étant une singularité essentielle isolée (M. Maillet les appelle quasi entières à l’&) et d'ordre de grandeur supérieur à [(7)f?, tandis que les G;(z) désignent des fonctions aussi quasi entières à l’infini mais croissant moins vite que el) (du moins dans une série d'intervalles d’étendue assez grande).

Des raisonnements tout à fait analogues à ceux de M. Borel nous permettent d'établir limpossibilité d’une telle identité. (Voir, à ce sujet, une note en bas des pages 14 et 15 du travail susdit de M. Maillet.)

Dès lors, tous les théorèmes et toutes nos considérations du Chapitre précédent s'étendent immédiatement aux fonctions ayant y branches dans le voisinage d’un point singulier essentiel, que nous pouvons appeler transcendantes algébroïdes dans le voisinage d’un point singulier essentiel, parce que la même méthode de l’élimination nous ramène à prouver limpossibilité d’une identité, telle HUOMCEN

Nous pouvons toujours envoyer à l'infini le point essentiel 3 = x par la trans-

formation 3 — «a — —.

Les transcendantes définies par l'équation (1), où les A;(z) désignent des fonctions quasi entières où quasi méromorphes (t) (d’après la terminologie de M. Maillet) ne sont qu'un cas particulier de celles que nous venons de traiter el, par conséquent, il est inutile d’en faire une étude spéciale.

Ce sont les fonctions uniformes dans tout le plan qui possèdent un nombre fini de points essentiels. Elles sont de la forme

I I I F(5)= ) g( ) ef):

3 — Æ — 2, et le lemme cité dans le n° 1 s'exprime par l'identité remarquable I 1j 1f a UP eo (=) ALT are PRE apr FE.

(l If I = ji a) ——) Z — Z—) E— y

@i(£), pat), ...,-pa(e) et bi(e), ..., b(é) étant des fonctions entières.

(1) Voir E. Maizcer, Mémoire sur les fonctions entières et quasi entières (Journal de M. Jordan, 1902).

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