SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS A UN NOMBRE INFINI DE BRANCHES

À. Dans ce Chapitre, nous établirons des théorèmes remarquables concernant une classe très étendue de fonctions d’un nombre infini de branches. Envisageons

l’équation (13) di(u) Ai(s)+ou)A:(3) +...+ao(u)A,(z)—=0—"F(z,u),

où les s;(u) désignent des fonctions entières de w et les A;(z) désignent des fonctions uniformes dans le voisinage d’un point singulier essentiel 3 = 4. Nous pouvons supposer que ces dernières fonctions soient quasi entières dans le domaine de 3 — 2, c’est-à-dire qu’elles n’y admettent pas des pôles; cela tient à ce qu'une fonction quasi méromorphe dans le voisinage de z — « est le quotient de deux fonctions quasi entières.

Pour fixer les idées, plaçons-nous dans le cas où le point & est à l'infini et supposons que les A;(z) sont des fonctions entières.

Nos raisonnements s’élendront d'eux-mêmes aux autres cas.

D'après le théorème bien connu de Weierstrass (1), l'équation (13) définit u comme fonction de 3 n'ayant d’autres points singuliers essentiels que le point z= el d’un nombre infini de branches [si une au moins des fonctions entières A;(3) est transcendante |.

Une valeur w, de uw sera dite encore exceptionnelle, si F(3,u,) n’admet qu’un nombre fini de zéros, et deux valeurs &w, et uw, seront dites équivalentes, si le rapport F(3, w):F(z, #2) est une fonction rationnelle de z. Si l’une est excepuonnelle, l’autre l’est aussi. On verra que cette notion est utile dans ce qui va suivre.

Supposons d’abord qu'il n’y ait aucune relation linéaire à coefficients poly-

nomes entre A,(c), A:(3), .…., A,(z). Si wo, ui, Us, .…., u, sont y + 1 valeurs non

(1) Voir Traité d'Analyse de M. Picard, t. Il, p. 244.

équivalentes, l'élimination nous conduira à une relation de la forme

(14) 14 Po(z) el) + Ai pils) EEE, ER À, Py(s) el 5) — 0, avec

Si(U) Go(Uo) Lot) (15) NE CARE NCA NEA UT =)

Ci(Uirs) Oalies) ... oy(Uiss)

Url oo Hielehshslels = MT cle ere eleece

JAQU) Ta(uy) nc (2)

les P;(3) étant des polynomes et les H;(3) des fonctions entières. Aucune réduction n’est possible au premier membre de cette relation, à cause de la non-équivalence des wo, Wi, Us, +.., Us.

Grâce à la proposition fondamentale de M. Borel, on aura

M — li 0.

Soit maintenant w, une valeur équivalente à &,, on aura

K étant un polynome; ou bien Loi(uo) — Kai(u5)]A(z) + [oruo) — Ko(uh)] Az) +... + [oy(uo) — Ko,(u,)]A,(z) = 0.

Or, nous avons supposé qu'aucune relation de cette forme n’est possible entre

les A;(z); il en résulte donc

7 __ Gao) __ Ga(Uo) __ __ oy(w).

7 ous) oa(us) 7 aus)?

par suite, K est une constante.

Conclusion. — y, Wu, +++, Uy 1 étant y valeurs exceptionnelles quelconques,

toute autre UÜ doit satisfaire à l’équation

di(Uo) (Cu) NOUS) cit) Gr(&) Uno Ut)

(19) N'OUNE MO Ce RARE Te — 0, CE) Tee) NC UNE)