PU) RE) PRE TA LS

2,2, G. REMOUNDOS.

il ne doit pas y avoir des équivalentes parmi les valeurs &5, &y, Ua, +, Uy 1, Si l’on veut que A(U) ne se réduise pas à zéro.

Dans le cas où toutes les valeurs sont équivalentes, w, étant l’une d’entre elles,

toutes les autres U seront données par une des équations

Gi(uo) G(U) — co) SU) —o, Ti(uo) SU) — 93(&0) Si (U) —0,

sHelee ee vs 8 e es she late le ele ele) ss vielcle ses

La conclusion intéressante tirée de ces considérations est le fait que l’ensemble (£) des valeurs exceptionnelles, quand il n’est pas fini, est dénombrable n'ayant qu’un point limite, infini, et l’exposant de convergence de la suite des modules de ces valeurs est au plus égal au plus grand des ordres apparents des fonc-

tions o(u). Ainsi on a un renseignement bien précieux sur la densité de ces nombres.

2. Passons maintenant au cas général, où les fonctions A;(z) sont quelconques (pas toutes des polynomes, bien entendu). Il est alors loisible d’écrire l’équa-

tion (13) comme il suit :

où les w;(3, u) sont des fonctions entières (transcendantes, en général, de w), mais des polynomes par rapport à 3 et les A(z) sont des fonctions entières linéairement distinctes (j'ai précisé ci-dessus ce que j'entends par là).

Des raisonnements analogues à ceux du numéro précédent nous permettent de constater les faits suivants :

1° Si wo et ui désignent deux valeurs équivalentes, on aura identiquement

o1(%, Uo) — CHEF Uo) Es Dent Om(3; Up).

Pi, M6) Des 5) 7 ons, uw)

29 Si Ug, WU, Ua, see, Uy Sont M» + 1 valeurs exceptionnelles, parmi lesquelles il

n’y ait pas deux équivalentes, on a les » + 1 identités suivantes 21(3, Uo) D2(3, Uo) sax Dn(3 Uo) P2 (

2(3; U:) ... Din (%» ui)

DCE NO (0 0 (HOMO En).

(z, Ujy1) q 2(3, Uri) GRO D ( 3» Ur)

j 21(% Un) q (5; By) 00 OPA 1)

PARFUM SLR Di sr a ae, désignent 77 valeurs exceptionnelles fixes, non équivalentes, toutes les autres U doivent être des zéros de la fonction entière par rapport à U, donnée par la formule :

p1(3;, Uo) Da(3, Uo) se ns, Uo)

(0) D (2. ti ses ele ee tee D lee US ete tetes . CHER Un) Da(z, DE) 500 Dr (3; Un) ®1(3, Ü) o2(3, Ü) Dr Ce AU)

quel que soit z. Si K est le plus grand des degrés des PI U) NC, ee, ©m(3, U), par rapport à 3, l'identité D(z, U) — o sera décomposée en K +1 au plus relations entre les w, &4, ..., um, et U, qui seront satisfaites par toutes les valeurs Ü exceptionnelles équivalentes ou non des wy, &i, ..., Um 1.

Si le nombre des valeurs non équivalentes est moindre que m, on se bornera aux équations (19) qui déterminent leurs équivalentes. On arrivera toujours à la

même conclusion finale sur la nature de l’ensemble Ces

Taéorime. — La fonction u — D(z), définie par l’équation (13) et ayant un nombre infini de branches, prend, dans le domaine de l’infini, toutes les valeurs, sauf, peut-être, un ensemble dénombrable ayant l’infini comme point limite unique et faisant partie de l’ensemble des zéros d’une fonction entière de u bien déterminée, lorsque l’équation (13) est donnée.

Corollaire. — L'infini est bien un point d’indétéermination complète, d’après une terminologie de M. Painlevé [voir Sur les singularités des fonctions analytiques et, en particulier, des fonctions définies par les équations différentielles (Comptes rendus, t. CXXXI, 1900)].

Dans le cas où tous les A;(3) sont des polynomes, il est manifeste que l'infini

n’est plus un point essentiel de u — ®(z).

3. Il est à peine nécessaire d’ajouter que ces résultats subsistent dans le cas où les s;(u) représentent des fonctions uniformes quelconques avec un ensemble dénombrable de singularités essentielles. Il n’y a qu’à adjoindre à l’ensemble (€) les affixes des points essentiels qui peuvent bien ètre des valeurs exceptionnelles.

Elles le sont sûrement dans le cas où il n’y a aucune relation de la forme aa(u)+an(u)+...+an(u)=g(u), gla)=o ('),

Ci, Co, +, ©, étant des constantes et g(w) une fonction entière de u.

(1) e; désignant l’affixe d’un point essentiel des (uw).

24 G. REMOUNDOS.

Ici l’ensemble (£/) dérivé de (£) peut renfermer tous les points essentiels des fonctions s(u) et pas d’autres.

Nos déductions ne seront pas les mêmes lorsque l’ensemble des points essentiels d’une des o;(u) est parfait, ponctuel ou linéaire (+). Dans le cas où une de ces fonctions admet des coupures, l'infini peut être un point d’indétermination incomplète de la fonction uw — (3) définie par l'équation (13), c’est-à-dire l’ensemble des valeurs exceptionnelles sera continu, une aire par exemple.

L'hypothèse sur l’uniformité des fonctions s(u) n’est pas tout à fait indispensable, et l’on pourrait faire une étude analogue même dans les cas où il n’en est

pas ainsi. Mais je n’y insisterai pas ici.

4. Je me propose maintenant de faire une remarque fort importante : Dans la plupart des cas, on peut être ramené à la proposition fondamentale de M. Borel, sans éliminer toutes les fonctions A;(z) qui figurent dans le premier membre de l'équation (13); en nous contentant d’une élimination partielle, nous arriverons à préciser et compléter suffisamment les résultats des trois paragraphes précédents, et surtout à établir des classes étendues de fonctions d’un nombre infini de branches qui n’admettent qu'un nombre fini de valeurs exceptionnelles.

Envisageons la fonction w(z), définie par une équation telle que (21) Ao(s) + Ai(s)u+A,(s)u?+...+A,(z)urt+...—="F(z, u) = o.

Soient e"") l’ordre de grandeur de la fonction entière A,(2) et e"" le plus grand des ordres de grandeur de toutes les fonctions A;(3)[i—0,1,2,3,..., |. Supposons que e""”) décroît notablement lorsque » croît indéfiniment, de sorte

que l’on puisse assigner une valeur y de n, assez grande (mais fixe), telle que l'inégalité r > y entraîne l’inégalité (219) [M,(r)F<M(r) ou, d’une facon plus générale, LM; Cr) < Mr), a étant un nombre positif quelconque, à partir d’une certaine valeur de 7 ou, du

moins, pour une infinité de valeurs de 7 remplissant des intervalles détendue totale assez grande (voir toujours le Mémoire de M. Borel, loc. cit).

(1) En général, lorsque cet ensemble n’est pas dénombrable.

SOIR EU UD CU. Uy41, Ÿ + 2 valeurs de w non équivalentes, exceptionnelles. L

On aura des relations de la forme

(22) ANNE ER TN CNE F(z, y b; (z) el),

MOST D ee 00

[les P;(z) étant des polynomes |.

F(z, w) peut s’écrire sous la forme suivante

F(z, uo) — Az) + A;(z)uo+ A(z)u? +... .+A,(s)uÿ+R,(s, w) avec

RCE U)= A CENT E AS ECNUEE nt,

: . + ‘ y 1—B , La fonction R,(z, w,) croîtra sûrement moins vite que el" 7, $ étant un

nombre positif assez petit, si la décroissance de l’ordre de grandeur e""”? avec — D est telle que, à partir d’une certaine valeur 7, de r, indépendante de n, la diffé-

rence A) Mr) —M,(r)

est négative, pour À assez grand, et inférieure à un nombre —, aussi petit que

l’on voudra, mais fixe.

En effet, cette condition étant réalisée, on aura, à partir d’une certaine valeur

7) 1 deu,

eMn+a(r Mn Le Ù Lg << NAN “0

pourvu que 7 soil supérieur A Te

D'autre part, on peut écrire

Ru )= A Cu A" C)u AG) Ce)u |

R, (3, uo)—=P,(z;, Uo) + Rn1 (2, Uo)

(1) Le nombre g dépend évidemment de wÿ et nous supposons qu'il existe, aussi grand

que soit le module de wo.

he A

26 G. REMOUNDOS.

avec P, (5 u0) = Avis) uit. HA (s)us" t,

Re (3, Uo) — Ame) ce A Ce) UE Ame 2 +5

P,(3, wo), n'ayant qu'un nombre fini de termes, croît évidemment moins vite

Mr) Ps , que elM (6, étant assez petit).

Quant à Rm 1(7, Uo), on aura, pour toute valeur de 7,

Or,ona eMm +07) Mr) << CE

eMm+a0)—M(r) 4 ae

à partir d’une certaine valeur de 7:.

Il en résulte

Re mo) lee MO eo ee Gel EE] [alt l<1] el m m à Ru-1(s, wo) | < Lol eue LP em CINE — qlul 1— 4

B; et B, étant des nombres positifs suffisamment peuts.

Nous en tirons IR,G@ 4)|< IP, to) IR,= (4) < M Cunine eme

B étant assez petit.

Jlieniséradefmemerdes ht) R, (2, w,,41) si l’on a aussi

77 Ce HAT. Se

SRE” au] Pour qu'il en soit ainsi, il faut que la différence

Mr) —M,(r)

s A S) = SUR LES ZEROS D UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. 27

tende vers — lorsque r croît indéfiniment (*) puisque les nombres &,, Us, ..., Uyy, peuvent avoir un module arbitrairement grand.

En nous plaçant donc dans l'hypothèse que le rapport eM##17"1 des ordres de 1 4 ; Q LA x I à 1 grandeur des coefficients A,,, (z) et A,(3) tend vers zéro avec =; à partir d’une certaine valeur r, de 7, nous aurons l'inégalité

| R, (z, ui) | &K em,

quel que soit le nombre w;, B étant assez petit (2)

Il est clair que ce résultat subsisterait, si cette condition n’était satisfaite que pour une infinité de valeurs de 7 (#) croissant indéfiniment, pourvu que ces valeurs de 7 soient les mêmes pour toutes les différences M,,,(r) — M,(r).

Voici un exemple où l’on se trouve dans les conditions ci-dessus indiquées :

Supposons que M, (7) <[M(r)]76)

et, pour toute valeur de 7», Mux(r) <M,(r) — mlogu(r'),

&(r) étant une fonction croissante absolument quelconque. On en déduit eMnlr) — er e-m log mOn),

EM) M, 0) — LLC Dès lors, on a

u È lol RESE | wo |” IR, (3, Up) | <'eM [wo| Li u(r) ge [u(r)f POS POI ï .

et la série entre parenthèses sera convergente, à partir d’une certaine valeur rs

de 7, telle que

kB (ro) = | el

k étant un nombre inférieur à l’unité,.

On pourrait aussi présenter d’autres classes de fonctions F(3, u) remplissant les conditions nécessaires pour que la fonction R,(z, w) croisse comme e"+1, Cela posé, j'élimine A(z), A,(3), ..., A,(5) entre les y + 2 équations (22)

et je trouve l'identité suivante : (23) Pos) + pi(s)eh +... +, p, (3e + pon(z)ebn = G(z),

où G(z) est une fonction entière d’ordre de grandeur au plus égal à e#l) et

(1) Et cela à partir d’une certaine valeur de 7, même pour 7 —%. (2) Il est clair que cette valeur r, dépendra de w;.

(3) Remplissant des intervalles d'étendue assez grande.

28 G. REMOUNDOS.

À; a la valeur suivante :

TUE uà it AU 2 y : (AUS QU NP ECS re . u} 1 Uj}y Us +. En 2 V VUS QU 1

Si aucune des valeurs wo, &, ..., üyg, ne fait partie de l’ensemble (E), qui comprend ici toutes les valeurs de w, pour lesquelles F(23, w) soit d’un ordre de grandeur inférieur à e""), toutes les exponentielles e"%) croissent comme e""? et, par conséquent, les conditions exigées par la proposition de M. Borel sont bien réalisées. Les À; étant des quantités essentiellement différentes de zéro, on déduit immédiatement l'impossibilité de l'identité (23).

L'hypothèse faite sur l’ordre de grandeur des A,(z) assure l'impossibilité d’une relation linéaire entre les A,(z) qui correspondent à n £v et les autres (!), car nous pouvons supposer que » + 1 est la plus petite valeur de 7, qui satisfait à l'inégalité (21/). Ainsi, toutes les réductions possibles étant faites, la somme des

v + 1 premiers termes de l’équation (21) prendra la forme Qu, 2) B,(3) + Qu, 3) B,(3) +...+ Qu(u, 3) Bus), PRE ee

où Qiu, 3), Qo(u, 3), ..., Qu(u, z) représentent des polynomes de degré au plus égal à y par rapport à w. Conformément à la définition que nous avons donnée au n° À pour les valeurs équivalentes, si w, et u, sont deux telles valeurs, on aura

Q:(2, wo) 24 Q: (3, wo) ES Qu(s, Uo).

Qi(s, uw) Qu) 77 Qu, wi)

Par suite, le nombre de toutes les équivalentes à w, sera au plus égal à v. Dans le cas où les A,(z), A,(z), ..., A,(z) sont des transcendantes linéairement distinctes, toute réduction étant impossible, nous sommes assurés de l’absence de telles valeurs.

D'une façon générale, l’étude des équations (24) nous décidera de leur existence ou non et de leur nombre.

De même, le nombre des valeurs (E) est au plus égal à v.

Conclusion. — Le nombre total des valeurs exceptionnelles est au plus égal à

(1) D'une façon plus précise, il n’y a que les relations linéaires entre des A,(3) correspondant tous à n £y qui contribuent à leur réduction.

N—vy(2v<+1) +1, linfini compris. Celui des valeurs non équivalentes est égal à Ni—2y +0 avec l'infini.

Dans des exemples particuliers, on peut abaisser notablement cette limite.

Exemple. — Citons, comme exemple, la fonction w(z) définie par l'équation

: 1 J 1 (6x) et(u +1) + ; a(s)u+ ge (s)ui+...+ nétGu+...= 0,

Le ; I an(3) (*) désignant une fonction entière d'ordre —: 2 n

Ici nous avons y—1. L'ensemble (E) est formé par les nombres # ——:1 et u =. Il n'existe pas des valeurs équivalentes w, et uw, parce que, s'il en existait ainsi, on devrait avoir, par exemple,

égalilé qui entraîne

a 4 ou

Vérifions que les conditions nécessaires pour l'application de notre méthode sont réalisées dans cet exemple.

L'ordre de grandeur e""? du coefficient — an(z) est égal à

eMnlr) — er n| et À 2 M,(r)=—log(nl)+r"<n—(n+hlogn+r";

si l’on tient compte de la formule bien connue

—— RE n! >Vare-tn on à

Min), M,(r)—M,(r)=r—r+(n+1hlogr—n.

M,(r) Fr M;(r)

La fonction est une fonction toujours croissante, aussi grand

que soit 7.

D'après un théorème bien connu de Paul du Bois-Reymond, étant donné un

(1) Dans la Note des Comptes rendus (8 février 1904), j'ai, par distraction, écrit à la place des fonctions entières ax(z) d'ordre des fonctions non uniformes. Fort heureu-

sement, la chose était évidente.

30 G. REMOUNDOS.

ensemble dénombrable de fonctions croissantes, il y aura toujours une fonction logu(r) croissant moins vite que toutes les fonctions . [Mi (r) — M, (r:)|. On aura donc

Mi(r)— Ma(r)> nlogp(r), et

M;,(r)—M,(r)<—nlogu(r) et

ga ini er)

Le théorème que nous avons appliqué est plutôt un corollaire du théorème de Paul du Bois-Reymond, d’après lequel, étant donné un ensemble dénombrable de fonctions croissantes, nous pouvons toujours fabriquer une autre fonction croissant plus vite que toutes les fonctions données.

Nous avions ici un ensemble dénombrable de fonctions croissantes

sr) = = [Mi(r) —M,(r)]

et nous voulons démontrer qu’il existe une autre fonction croissant moins vite que toutes les o,(7).

Il est clair que tout cela pourrait être ramené au théorème de Paul du Bois- Reymond par la considération des fonctions inverses, mais on y arrive directement en remarquant que la fonction 5,(r) tend vers l'infini avec ».

En effet, à chaque valeur de 7, faisons correspondre la plus petite des valeurs des cy(r)[n—1,2,3,..., æ]. Grâce à la remarque que nous venons de faire, la plus petite des valeurs des 5,(r) tend vers l'infini avec r et nous fabriquerons ainsi une fonction inférieure, à la fois, à toutes les fonctions 5, (7°) et pour toute valeur de r.

Le procédé même que nous avons suivi dans cet exemple nous montre que les conditions de notre théorème sont bien réalisées, toutes les fois où la fonction

croissante

= [MGM] (9

tend (pour z =), ou bien vers l'infini, ou bien vers une fonction croissante bien déterminée.

Re es ;

S'il n’en est pas ainsi, la plus petite des valeurs des 5,(7), qui correspondent à une valeur de r, ne saurait dépasser une certaine limite et, par conséquent, la

méthode précédente ne nous fournirait pas une fonction croissante. ER A Re RE den Du nt |

(1) Dans la théorie générale (p. 26), nous avons indiqué une condition plus précise que celle-là.

SUR LES ZÉROS D'UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES. Ji

Par suite, le nombre total des valeurs exceptionnelles est au plus égal à 4. Dans cet exemple, on peut l’abaisser beaucoup. Il n’y a qu'à répéter les raisonnements qui nous ont servi à faire la démonstration du théorème général pour voir que la seule valeur exceptionnelle finie, qui soit possible, est u —— 1 (*).

Des exemples analogues sont donnés par l'équation (21), dans laquelle A,(3)

est une fonction entière d'ordre £, où p est un nombre positif quelconque.

Il est aisé de multiplier les exemples de cette espèce (2).

5. D'une façon plus générale, on pourrait considérer, à la place de (21), une équation de la forme

(26) g(u)A(z) + qi(u)A;(s) + go(u)A,(z) +...+ gr(u) A,(z) +...,

où gA(u) est un polynome par rapport à w, dont le degré, dépendant d’une façon quelconque de n, croît indéfiniment avec n.

On posera, bien entendu, sur l’ordre de grandeur de A,(z), les conditions exprimées par les inégalités (21/) et les autres (?).

L'ensemble (e) ne sera infini que dans le cas où el croît avec n, ou bien il décroît très lentement; enfin, lorsque les A,(z) croissent toutes à peu près de la

même facon.

[logM(r)["” l’ensemble (e)

Si, par exemple, M,(r) croît comme le quotient

peut bien être infini, parce que l'inégalité

M(r) ts NEIGE

(1) Ilest aisé de voir qu’elle ne l’est pas non plus: en effet, on a