VI

On en conclut ensuite, en différentiant.

D/a /^ay D?^a ^ /D^qV . (g — q")D,û ^

puis encore, par Télimination de — ?

ÇiJi — El'' (« — ^)' .

( 39) mais, comme conséquence de Téquation différentielle,

on a la suivante :

qui peut s'écrire

= (eJ ^ a)« (5 - a)(|3 ^- y - 2a)(n- û^) - (|3 -'v)(7 - a)(û^4- a*). Or on en tire, en différentiant et divisant ensuite les deux membres par

= -[($- a)(p + 7 - 2a) + (^ - «)(7 - a)] - 2((3 - «)(7 - a)o-. Nous avons donc, après avoir remplacé a' par a"^ — i,

Çl» = ( 3 - a) (7 - 5) - (d - a) (y - a) - 2 ( ^ - «) (7 -«)«"»;

c'est le résultat que j'avais en vue d'obtenir.

Deux voies s'ouvrent maintenant pour parvenir aux expressions de Ay B, C; voici d'abord la plus élémentaire. Revenant aux formules

je remplace a", h'\ c" par les valeurs obtenues au § XI, page 27 :

„ cnif .// clnbisn» „ snft»diii/

cnw cn«) icnft>

et, au moyen des relations relatives à l'addition des arguments, j*obtiens

(3o) ces résultats :

n"b" — ic" sn tt cnif (In ft> + sn u en u dn tt en ( n — w )

û"' — I sn^tt — sn'w sn(tt — »)

û'V-h ih'* snacnwdn» -f- sn»cnwdni« i

a"'* — I ~~^ /(sn'a — sn'») /sn(a — wj

de sorte que nous pouvons écrire

^cn[u-^U^ C =

sn ( a — w ) i sn ( a — a» ]

Cela pobé, j'envisage l'expression

et je fais le même calcul, après avoir remplacé 7 — |S et a — (? par les

valeurs suivantes :

^ . <*n<k> «. . sncddnft)

7 — fi = m j — » a — o = m >

' ' bnudDfr) enu

qu*on tire facilement des équations posées page !26 :

en Gt>

= \J\^i^ d«« = \/;-ir|' ^^^ = i\Jy=^s

et de 7i = v^($ — a) (7 — jS). L'expression à laquelle nous parvenons ainsi,

Dia snf/cDtfdnti + sn&i cnoi>dnw

a sn^a — sn*w

nous offre une fonction doublement périodique, dont les périodes sont aK, a/K'y et qui a deux pôles, u=^ (ù^ z/ = iK'. Les résidus correspondant à ces pôles étant + i et — i, la décomposition en éléments simples donne immédiatement

sn« cnudnu + snoAcnudn&i H'(ii — eo) e'(tt) p,

sn*i£ — sn'eo il (a — w) ô(m) *

et la constante se détermine en faisant, par exemple, e< = o; on obtient de cette manière :

^ H'(w) cnwdnw ©'(•*)

H(w) snu ®(«)

(3i ) Nous pouvons donc écrire, après avoir pris pour variable u = n[t — /q),

a H(tt— w) e{u) 0(w)

et, si l'on désigne par Ne'^ une nouvelle constante à laquelle nous donnons cette forme, parce qu'elle doit être, en général, supposée imaginaire^ on aura

De cette formule résulte ensuite

A = Ne \ , ^ gL" ® "^J ,

OU plus simplement, en mettant v — olûq au lieu de v,

A= Ne*''— ^— r— e »

et l'on en conclut immédiatement

c"(^-^) A ./7:^Ar^vH.{''-«)^'-"^*''"^J"

B= A = v/A-^Ne'

sn ( /t — w ) ^ ( a )

r iî ^'i^ 1

/ sn ( a — w ) ^ / ( £4 )

Des deux indéterminées N et vqui figurent dans ces expressions, la dernière seule subsistera comme quantité arbitraire; N, qui est réel et positif, se détermine comme nous allons le montrer.

Je fais à cet effet, pour plus de simplicité, dans les expressions précédentes,

l'a. 0'(wl n 0(w)

en observant que cette quantité X est réelle, car on a oo =/i;, ainsi que

nous Tavons fait voir (p. 27). Cela étant, nous pouvons écrire

A = v^N — ^ ^ snlu — Cl)),

B = V/iN — ^ ^ en (w — Cl) ),

C = N/ÂN^"-".^':'"n

iQiti

er je remarque tout d'abord que ces formules permettent de vérifier facilement les conditions auxquelles doivent satisfaire les neuf coefficients àf hj c, .... En premier lieu, nous en déduisons :

Aa"-i- Bt '4- Ce' = v*N -^ •-—, — F— en w sn (u — w)

H- dnot)8nz/cn(è/ — w) — snodnw].

Or on a

Ci\u%n{u — «) — dncjsni/cn(i^ — «)-+- sn&)dn£< = o,

cette équation étant l'une des relations fondamentales pour l'addition des arguments [Jacobi, OEuvres complètes, t. II, p. 171 , équation (t6)], et nous obtenons ainsi :

aa' -h bb" -+- ce" = o, /ï'a" -f- b'b" 4- c'c" = o.

Je remarque ensuite que la somme des carrés A^-hB^-hC^ s'évanouit comme contenant en facteur su'^di — w) -h cn^(w — w) — i, et nous en concluons

a- -+- 6' -+- 6-^ = a'-' -h A'^ -h c'S aa' -h bb' + ce' = o.

» Ayant d'ailleurs

\cn»y \ cnw / \ cn« /

I — sn'a (i — ^'^sn'wjsn'a (i — A-*sn*«)sn*w

cn*w cn'w en'» '

les six relations que nous avons en vue seront complètement vérifiées dès que N sera déterminé de manière à obtenir «^ -h t^ H- c^ = 1 (* ). Formons

(') Les équations

/Ar= Bc" — Cb\ /B ~. Cû"— Ac", iC z=Ab" — Bù'\

pour cela les carrés des modules de A, B, C; en remarquant que, par le changement de / en — /, « se change en — «, on trouve immédiatement

a}-\.ci^ = AN^ -^ -[,-1 ^ snfw h- wjsnfw — w),

b^ 4- b'^ = a:N^ — ^ J-r\ cn(u -+- cojcnfM — w),

c^-f-c'^ = AlS^

dont la première a été employée précédemment, page 27, et qui contiennent les suivantes :

a — // c" — c' b% h = c'a" - a'c\ c = a' b" — b' n" % a'z=ib''c -c^b, V=.c''a -- a" c, c'^a"b^b"a,

se vérifient aussi de la manière la plus facile. Les relations auxquelles elles conduisent, à

savoir :

cnw = cn//cn(// — w) -h dnwsnKsn [u — w\

cntt = cn<k>cn[/< — w) — dn^sn^/ sn (^ — m),

dnodsnu = cn&>sn [u — &>] + snci>dn/icn(K — &>),

figurent, en effet, dans le tableau donné par Jacobi sous les n^' 9, 10 et 11. Formons enfin les trois produits

. [b - ib') \c. -f. ic' ), (c ~ /V ) \a H- /û'), [a -^ ïa')[b 4- /i'),

nous trouverons

/. .ui\f , -M efo]H,(o^ H,f//-+-6>)B(w — w) . [b — ib'] [C -\- ic ) =1 —^ - ---— ■' /,

c — ic') [a H- ia'] — — -:— ^-^ ^,

(a ^ ia'jib -{- ib ] =z rrr—'s — ri — ^ "î

or les relations élémentaires

(o) H,{o) H,(a -f- w) 0(m — w)znH(w)e,(a))H(a) 0,;^) — H,(w; 0(w) 0(£i) H, (a), 0,[o) H.(o) (w -f- «) H (tf — w) — H(w) (w) H,(«) 0,(«; — H,(w) 0,(6)) 0(tt) H [a], 0(o)H,(o)H (n-f »)H,(m — w;= 0iw)0,(w)H(M)H.;tt) -h H (w) H,(w) 0(/i) 0,(ii)

conduisent facilement à ces égalités

(6 - ib' ) (r -f. /c' ) = - 6 V + lû", (c — /c') (a -4- ia') = — cV-l- /^", (a ^ia')[b-h ib' ] = — a"b" 4- /c" ;

d*où Ton tire ce nouveau système de conditions :

bc -+- b'c^ -f- b"c"=o, bc - cb' = /i", ca H c'tf' -f- c'V/" = 0, ca' — ac' = *", ^^ ^a!b'-^ a"b"z=i o, «ft'- ftû'=r c".

d'où, en ajoutant membre à membre,

7. = AN^ 0^;/. + «) e(i^--a>) ^^^^^^^ __^ ^^ ^^^^^ ^^j ^ ^^^^^ ^ ^^ ^^^^^ ^^. ^ j-|^

Or les formules élémentaires

sn [u -H w) sn [u — co) = 7; — z »

, . , . en'// -4- cn*'#»

en [u -f- w) en (w — w) = — i H tt — : —

donnent

9 on f t

sn iu 4- &)) sn iu —(»)-+- et) (a -f- w) en («/ — w) 4- 1 = >- — r—

sn-w

on a d'ailleurs

nous obtenons donc

et par conséquent, après une réduction facile.

On en conclut les résultats de Jacobi, que nous gardons sous la forme suivante :

. , H,(o)0(/t — wW'(^«-*-^) /H,(w)0(l«)

et il ne nous reste plus qu'à y joindre les expressions des vitesses de rotation autour des axes fixes Ox^ Oj\ Oz.

Ces quantité.*, que je désignerai par c, v\ v'\ ont pour valeurs

ç z= np -h bq -+- crn

v' = n'p -i- b'q •+- c'rj

(35 ) OU encore, en remplaçant />, 7, r par aa", ^6", yc",

Cela posé/soit v -+- iV = V, nous pouvons écrire

V = Aa"a + B6"P -l- Cc^y,

et, si nous employons de nouveau les égalités

j^ fl '> — ^ A C a C -^ tu ^

15 — T. A, Li — — jr: A*

on obtiendra la formule

Or, au moyen des relations

a — a = — f/i ï 7 — fi = i/î

cnw ' ~ snwdnw

et des valeurs de a"j b'\ c'\ il vient

[<î — a]flf"-4-/[7 — S)^*c" . siii^cnaclnoj + snfr>cnft>du££ . cin(i# — w)

a^ — I sn*a — SD-w SQ (a — w)

Texpression précédente de A nous donne donc immédiatement