V - in H^(o)e.(^^~-o
V = Ifl TT-i ^^ -j—\ •
H,(a))0(tf)
Voici maintenant la seconde méthode que j*ai annoncée pour parvenir à la détermination des quantités A, B^ C.
Je reprends l'équation différentielle du second ordre, obtenue an § XII, p. ag, à savoir :
Df a = [fjS — a (7 — c?) — (J — a)(7 — a) — 2fjS — ^(7 — a]a*]a,
et j'y joins les deux suivantes, qui sen tirent par un changement de lettres :
Cela posé, au moyen des expressions de a"f b'\ d* ^ en fonction de u^ et de ces formules qu'on établit sans peine,
a — a := m — -, , fi — o = m ; — i
' du (M * cnwdno»
^ . STIflixlnw ri • c^^
cnft>dnft> ^ . dnw
' SDU ' snwcDw
nous obtenons, par un calcul facile,
(P-«){7-$)-(5-«)(7-a)-2(,'3- a)(7-aK»
= /i^[îiA^sn*w — I — A^ -h A^sn^w],
(7-^)(«-5)-((^-i3)(«-P)-3(7-^)(a-/3ji-
= n» FaA» sn*tt- i - A» -+- A» ^],
= /i^ 2A*sn*tt— I — A^H — \- • L »n wj
Prenant donc pour variable indépendante u au lieu de tj on aura
D,Ja = [aA^sn^M — i — A* -h A^sn'wja,
D„^b = FaA^ su^tt -. , - A^ 4. A» ?:^lb,
D,?c = TaA^sn^w - i — A» -h -^-Ic;
et nous nous trouvons, par conséquent, amenés à trois des quatre formes canoniques de l'équation de Lamé, qui ont été considérées au § VI, p. i4. La solution générale de ces équations nous donne donc, en désignant les constantes arbitraires par P, Q, R, P', Q', R',
et l'on en conclut, si Ton écrit, pour plus de simplicité, P, Q, R, .•• au lieu dePe'«'., Q&\ Rci^'., ...,
C = R ^ (" ~ ") gL « "^ H((.)J " ^ ;^. Q{«H-a>) ^L " HM J "
0(tt) 0(tf)
La détermination des six constantes qui entrent dans ces expressions se fait très-facilement, comme on va le voir.
Je remarque, en premier lieu, que nous pouvons poser
X désignant la quantité déjà considérée au § XIV, p. 3i. On a, en effet
0', (&)) 0'{w) T\ 1 j X'snwcnw
-V-f — -fr = Dj^loeducD = -, »
0, (w) 0(w) « t3 jnj^
H(w) * 0(») "» D ^Ujrt
et les égalités précédentes sont vérifiées au moyen des relations
a — a •= in — . » y —^ a = m >
que nous avons données plus haut. Une conséquence importante découle de là: c'est qu'en changeant u en a-4-4K, les fonctions -— -^-y^ — '
~- , J — 9 ~en — ^^ reproduisent multipliées par le même facteur e^^^^j tandis que les quantités
rr . . r ^i(--XK) ^if^-XK) mU-Xk)
sont affectées des facteurs e \" /, e V" /, c V" /, essentielle-
ment inégaux. Or on a obtenu, pour les quotients -» -» des fonctions doublement périodiques, ne changeant point quand on met u -h ^K au
( 38) lien de w; il faut donc que les facteurs qui mulliplient A, B, C, lorsqu'on remplace u par // -+- 4K, soient les mêmes, ce qui exige qu'on fasse P' = o, Q'= o, R'= o. Ce point établi, j'écris, en modifiant convenablemenr la forme des constantes P, Q, R,
A =r P- snfw ~ w),
et j'emploie la condition Aa* 4- B//'-t- Ce" = o, qui conduit à l'égalilé
— Pcn£isn(£^ — 0)) -+- Q(lnci)sniicn(// -— w) — /Rsnw dnw = o.
Or, en faisant (A'= o et z^ = w, on en déduit
P=Q^ai; de sorte qu'on peut poser
P = vÂNe'\ Q = \ Â Ne'', R = ^' ^ f- '
ce qui nous donne les^ expressions de A, B, C ohlcMuies au §XIV, p. 3i. Le calcul s'achève donc en déterminant, ainsi qu'on l'a f.iit plus haut, la valeur du facteur N.
Les formules que nous venons d'établir ont été le sujet des travaux de |)lusieurs géomètres; M. Sonioff en a donné une démonstration dans un Mémoire du Journal Je Crelte (*), peu différente de celle de Jacobi, et qui repose aussi sur l'emploi des trois angles d'Euler. M. Brill, dans un excellent travail intitulé : Sul problema délia rolazione dei corpi [Aimali di Matematicaj série II, t. III, p, 33), a em[)loyé le premier les équations différentielles de Poisson et les quantités a -h ia\ b -\- ///, c h- ic dont j\ii fait usage, mais son analyse est entièrement différente de la mienne. C'est à un autre point de vue que s'est placé M. Chelini {-) en déduisant pour la première
; ' ) DémonsUatinn des formules de M, Jacobi relatives a la théorie de la rotation d'un corps solide y t. h% p. g5.
I') Detcrininazione analiticn délia rotazionc dei corpi liheri secundo i concetti del signor Poinsot ' Memorie dell* Accadcmin délie Scicnze dell* Istitu'o di Bologna, vol. X).
( ^^9 ) fois les conséquences analytiques de la belle théorie de Poinsof, que son auteur ni personne n'avait encore données d'une manière aussi approfondie. Je mentionnerai en6n deux récents Mémoires de M. Siacci, professeur à l'Université de Turin, et dont l'auteur a bien voulu, dans la lettre suivante, m'indiquerles points les plus essentiels :
« Turin, -24 décembre 1877.
» Poinsot, à la fin de son Mémoire sur la rotation des corps, démontre que la section diamétrale de l'ellipsoïde central, déterminée par le plan parallèle au couple d'impuUion, a son aire constante. Ce théorème a été le point de départ d'un Mémoire (*) dont les résultats se rattachent à la théorie des fonctions elliptiques aussi bien qu'à la théorie de la rotation. Je me suis d'abord proposé le problème de déterminer le mouvement des axes de cette section : pour abréger, je l'appellerai section invariable, et son plan, plan invariable. Une première solution du problème est suggérée par Thomothétie de la section invariable avec l'indicatrice de Dupin , relative à l'extrémité de l'axe instantané (pôle). La rotation d'un système de trois axes rectangulaires, dont les premiers coïncident avec les axes de la section, n'est que la résultante de deux rotations, l'une due au mouvement du pôle sur la poloïde, Tautre due au mouvement de l'ellipsoïde. Soient, sur ces axes, F,, Pj, P3 les composantes de la première vitesse angulaire; w/,, nizy m^ celles de la seconde. La résultante se composera de P, -*- m,, Pa •+• ma, Pj -h //I3 ; et, comme le pôle reste sur un plan, on aura
(i) P^ H- m^ = o, P2 -I- ^2 = o, Ps -H m, = rfcj; : rf/,
vp étant la longitude d'un des axes de la section. Soient v^£2|, y/a,, v^ '^^ demi-axes de l'ellipsoïde (le troisième est celui qui ne se couche jamais sur le plan invariable); jc,, 0*3, x^ les coordonnées du pôle; X,, X2, X, (X, = o, X|, X2 sont les demi-axes carrés de la section) les racines de l'équation
(X)=i — ^^ H ^: H H — I = o. On aura
(^, >r) (^i— V)(^3 — "^r) T\ Aé ^t^li" /^X* d\/
^>r — X,) (Xr — X/) '' X, — X/\/if; ml
{rjS^ s' étant trois nombres delà série 1,11, 3). Comme X|X2 = const. = c^, on a m, = const. C'est, en effet, la distance du centre O ati plan fixe de contact ;
( ' ) Mcmorie délia Società italiana délie Scienze^ série III, t. III.
(le même mi, m^ sont les distances de G des plans tangents aux surfaces (71) et (X2). Au moyen de ces valeurs, les équations (1), qui reviennent en substance aux équations d'Euler, donnent ^ et ^J; en fonction de a* = X, -h /j. En posant t = nu [n expression connue), on obtient
et Ton prendra le signe supérieur ou inférieur, suivant que m, > ou •< /ij.
Le module est k = 1/ —, r—, J» et (7 et t so!»t amsi donnes :
r=r-,=JL=, a=C-T=^-=^ cos(n=î^»/i.
F étant un angle aigu négatif ou positif, suivant que ml^a^ et G un angle positif, qui sera < ou > |;r, suivant que la zone enrourée par la poloïde comprendra deux ombilics ou aucun 2 c'est, en effet, ce qui revient aux cas deG^^;: ou de (7>K'. La double expression
H(/ff) ^0(a 4- /T)0(a — /t) qzll(/T) y0(a -+-/o')0(« — ia)
donne X| et Xj. L*étudede l'expression (3) démontre que le mouvement moyen des demi-axes de la section est donné par le terme nuiltiplié par i/, et Tinégalité par l'autre, lorsque c < K'; lorsque a > K', le mouvement moyen et l'inégalité sont donnés par les mêmes termes en y changeant a en (7 — aK'; et Ton trouve que, dans le second cas, le mouvement moyen
coïncide avec celui des projections des demi-axes \ja^ et sja^^ et dans le
premier avec celui des projections de ^a, et de l'axe instantané.
» On peut tirer cj; de l'expression de la longitude (fx) d'une droite quelconque OR, dont Textrémitéa S,, Çj, £3 pour coordonnées. Je trouve ainsi
et je donne aussi l'expression développée de (|x). Comme £,, £2, S, sont fonctions arbitraires de li, on voit l'infinité de formes qu'on peut donner à l'expression (a) de ^.
En faisant coïncider OR avec V^o V^29 V^s ^t avec Taxe instantané, on obtient leurs longitudes |ji|« jXa, {Xs, jx et l'on a
m, flTr — ^1
4» = ^, - arc lang ^; ^; = fi - arc tang ^.
Ces quatre expressions de ^ contiennent les principaux théorèmes sur la transformation et sur l'addition des paramètres des intégrales elliptiques de troisième espèce, mais sous une forme nouvelle, à cause des termes circulaires.
Le mouvement des projections des axes du corps et de Taxe instantané a été déterminé par Jacobi : leurs inégalités sont données au moyen d'une constante a, qui se trouve liée avec nos quantités par l'équation (7 4- T = aa; mais aux expressions des mouvements moyens concourent les moments d'inertie du corps. Au moyen des quantités a et t, elles acquièrent, comme on a vu, une forme plus homogène. Si nous posons c — t = 26, les constantes du problème a^y a^^ a^, m, se transforment en a, b, c, A*. Ainsi Ton a
%iïiaàr\m en 16 ^nib ànib eu ia en* a
Us sn ia en ib dn ib a^ c sni6cniadn/a c
sn ib en ib dn ia
co} ib
snia en /a Avkib en' 10 a, cn*/6
en changeant a:^ : a;, en mja:^ : £ï^, on change h en a.
J'ajouterai aux résultats de mon Mémoire les cosinus de direction des axes de la section invariable par rapport à l'axe instantané et aux axes du corps; ils sont :
Ydn(u-f- ffl) - Xdn [u — ia )
2/ \/XY dn \u -h tu] du (a — ia]
Y dn (1/ -4- ia] -f- X dn (« — ià\ p. v^XY dn \u -i- ia] dn (« — ia]
/Wi .r, Ysn [u -I- 1^) -hXsn (a — ia) /w,x, Ysn (« H- /Vii — Xsn(a — ia)
Oi—l oo.niaJTCYZ ' «i — >i *" 2/cniav^XYZ
Yen(tt -f- /«■ — Xc/?(i/ — ia)
2ien/a^XYZ
2en/V?^XYZ
/wi jTt __ ^ Ycnfii-h/fl) -f-Xcn(£< — ia) ^'—^' 2cnfVi^XYZ
/w.xs Y — X
2icnifl^XYZ
2en/av^XYZ
où
Z(i — /c^sn^/Vïsn^w) = i,
n î>. sn/<Tsn/T
Les doubles signes se rapportent aux cas de /wj^aj, avec la convention que, suivant que a -1-6 > ou <K',X,Y, ou bien Xsn(i/ — /a), Ysn(M4-îû) imaginaires conjugués, aient leur partie réelle positive. On tire ces expressions de (4)- La substitution directe des valeurs x^y a*,, x^ ; m\j ^3; X^ X2 donne des expressions assez simples, mais tout à fait différentes, et leur comparaison donne lieu à des formules remarquables.^
Les résultats dont on vient de voir l'indication succincte sont les premiers qui aient été ajoutés aux travaux de Jacobi dans la théorie de la rotation; mais je dois signaler encore, en raison de Tintérét que j'y attache, un point non mentionné dans le résumé précédent. Remplaçons, dans le plan invariable, les axes 6xes Oo*, Oy par deux autres également rectangulaires, mais mobiles, OoTi, O/^, dont le premier soit constamment parallèle à la direction du rayon vecleur de Terpoloïde; M. Chelini a introduit, en suivant la méthode de Poinsot, les angles des axes d*inertie avec les droites OjC|, Oji, Oz, et donné ce système de formules, où v désigne le rayon vecteur de l'erpoloïde :
cos(x<x ) = ■ — î cos(/,j:') = ~ — ^ , cos(z,a:') = a\
cos(jc, y) = ^——^—^ cos{jr,f) = f , cos(Z|7') = b\
cos
(o:, z') = '■- '— -> cos(7i z') = ^-^ > cos(z, z') = c .
C'est le passage des neuf cosinus de M. Chelini à ceux de Jacohi, qu'il était important d'effectuer pour compléter la déduction analytique de la théorie de Poinsot, alors même que, par cette voie, ou ne dût peut-être pas y arriver de la manière la plus rapide. Je renverrai, sur ce point essentiel, aux beaux Mémoires de M. Siacci, en me bornant à remarquer les relations suivantes, dans lesquelles V, = i^ — zV :
C0S[X^X') -^ iC0'ii[j^x') :i--A\\,
co.s(X|7'') 4-/cos(j,j') = -BV,,
cos(x, z ) -¥ icos{jt -') = -CV,, et j'y ajouterai quelques formules relatives à l'erpoloïde.
Si Ton met, au lieu de ^j 73, Ç, dans les équations du § X, p. 23, les qifantités suivantes :
où />, qj r sont les composantes de la vitesse et p une indéterminée, on aura, pour déterminer la position de l'axe instantané de rotation par rapport aux axes fixes^ les formules
X = [ap -h bq -h cr )fi — vp^ J= {a'p-hb'q-h&r)p = p>, z r^ {ay -+- b"q H- c"r)p = v"p,
dont la dernière est simplement 2 = ^p. Or, l'erpoloïde étant la trace de cet axe mobile sur le plan tangent à Tellipsoïde central, z = ^, on voit qu'il suffit de faire p = 1 pour obtenir les coordonnées de cette courbe, exprimées en fonction du temps, ou de la variable u> Nous avons ainsi a* = i^, ^ = i/; mais ce sont plutôt les quantités x -i- iy et x — ij- qu'il convient de considérer, et je poserai en conséquence
. -H'foie.f// — «)c'(^"-^^î , , ^ o" -f- jr = — m ^ ' ' , H- = *(«J»
^ H,(wJ0(a) ^ ^'
ce qui permettra d'employer les conditions caractéristiques
<I> (tt -H 2K) = |x4) (a), $ (tt 4- 2/K') = - /x'4) (tt), * 0,(a -H aK) = -<I>, (m), 0,(w -^ 21R') = - A«»i(«),
où j'ai fait
Elles montrent, en effet, que les produits î>(£/)0,(w), D„0(w)D„î>,(tt),et en général D^<I>(m)D;<I>|(w), quels que soient m et «, sont des fonctions doublement périodiques, ayant 2K et 2/K' pour périodes. En particulier, nous envisagerons l'expression D„0(a)D||<I>,(tt) = x'^ -1-^% puis les
coefficients de / dans les suivantes :
D'<D(w)D„<I>,(tt) = x^x^'-hj-y-i- i[xy"-^fx''),
ces fonctions doublement périodiques donnant, par les formules connues, les éléments de l'arc, du secteur et le rayon de courbure. J'emploierai, pour les obtenir, la formule de décomposition en éléments simples, rappelée au commencement de ce travail (§ I, p. 5), et dont l'application sera facile, ^{u) et$i(£/) ayant pour pôle unique u=.iVJ. N'ayant
ainsi à considérer qu'un seul élément simple, - —,9 il suffit d'avoir les
développements suivant les puissances croissantes de £ de 4>(/K'+ s) et $, (/K'-h e) ; ils s'obtiennent comme on va voir.
Je remarque d'abord que, au moyen de la fonction 91 (x, co), définie au § III, p. 8, on peut écrire
(i>{u) = C(p,(Uy — w)e~, 4), (a) =C,(p,{Xj o)e~~,
C et C« désignant des constantes. C'est ce que l'on voit en joignant aux relations précédemment employées,
'^ = 1" ir — À = ^" ^ /~\ ^= ^~ 15 — "'
la suivante :
qui résulte de la condition a — d^ = ''*— r (§ ^V, p. 36), en la mettant sous la forme
=Da,logcnû,)= -^ — —f— •
Cela posé, l'équation iç,(a, w) = /(w, w-l- K-h /K') montre qu'on a le développement de ç?, (/K'-t- 2, w) en changeant simplement w en w -f- K-h ÎK' dans la formule de la page i3 :
et il vient ainsi, en nous bornant aux seuls termes nécessaires,
